【題目】已知函數(shù)f(x)=blnx,g(x)=ax2﹣x(a∈R).
(1)若曲線f(x)與g(x)在公共點(diǎn)A(1,0)處有相同的切線,求實(shí)數(shù)a、b的值;
(2)在(1)的條件下,證明f(x)≤g(x)在(0,+∞)上恒成立;
(3)若a=1,b>2e,求方程f(x)﹣g(x)=x在區(qū)間(1,eb)內(nèi)實(shí)根的個(gè)數(shù)(e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)).

【答案】
(1)解:∵f(x)=blnx,g(x)=ax2﹣x(a∈R),

,g'(x)=2ax﹣1.

∵曲線f(x)與g(x)在公共點(diǎn)A(1,0)處有相同的切線,

,解得


(2)解:設(shè)F(x)=f(x)﹣g(x)=lnx﹣(x2﹣x),x>0

,

∴當(dāng)x>1時(shí),y<0;當(dāng)﹣ <x<0時(shí),y<0;當(dāng)0<x<1時(shí),y>0;當(dāng)x<﹣ 時(shí),y>0.

∴F(x)在(0,1)上單調(diào)遞增,在(1,+∞)上單調(diào)遞減.

∴F(x)最大值為F(1)=ln1﹣(1﹣1)=0.

∴F(x)=f(x)﹣g(x)≤0,即f(x)≤g(x)


(3)解:∵f(x)=blnx,g(x)=ax2﹣x,a=1,b>2e

∴f(x)﹣g(x)=x轉(zhuǎn)化為blnx﹣x2=0,

令G(x)=blnx﹣x2,則 ,

=0,得x= ,

∵x∈(1,eb)且b>2e,

,eb ,

∴由G′(x)>0得1<x< ,由G′(x)<0,得

∴G(x)在 上單調(diào)遞增,在 上單調(diào)遞減

∴當(dāng)x= 時(shí), ,

∵b>2e,∴ ,∴ ,∴

又∵G(1)=﹣1<0G(eb)=blneb﹣e2b=b2﹣e2b=(b+eb)(b﹣eb)<0,

∴方程f(x)﹣g(x)=x在區(qū)間(1,eb)內(nèi)有兩個(gè)實(shí)根


【解析】(1)由 ,g'(x)=2ax﹣1,利用曲線f(x)與g(x)在公共點(diǎn)A(1,0)處有相同的切線,能求出實(shí)數(shù)a、b的值.(2)設(shè)F(x)=f(x)﹣g(x)=lnx﹣(x2﹣x),x>0,則 ,由此推導(dǎo)出F(x)最大值為F(1)=0.從而能夠證明f(x)≤g(x).(3)由f(x)=blnx,g(x)=ax2﹣x,a=1,b>2e,知f(x)﹣g(x)=x轉(zhuǎn)化為blnx﹣x2=0,令G(x)=blnx﹣x2 , 則 ,由此能夠推導(dǎo)出方程f(x)﹣g(x)=x在區(qū)間(1,eb)內(nèi)有兩個(gè)實(shí)根.

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