已知函數(shù)f(x)=mx3-2x2+m2x+5(m∈R)且f(x)在x=1處取得極小值.
(1)求m的值.
(2)若g(x)=f(x)-λ(x2+2x)在(-1,+∞)上是增函數(shù),求實(shí)數(shù)λ的取值范圍.
分析:(1)由函數(shù)f(x)=mx3-2x2+m2x+5(m∈R)且f(x)在x=1處取得極小值,可得f'(1)=0,解方程求出m值,代入驗(yàn)證是否滿足條件,即可得到結(jié)論;
(2)若g(x)=f(x)-λ(x2+2x)在(-1,+∞)上是增函數(shù),則g′(x)>0在(-1,+∞)上恒成立,進(jìn)而構(gòu)造不等式可得結(jié)論.
解答:解:(1)f'(x)=3mx2-4x+m2
∵f(x)在x=1處取得極小值
∴f'(1)=m2+3m-4=0得m=1或m=-4
當(dāng)m=1時(shí)   
f'(x)=3x2-4x+1=(x-1)(3x-1)
∴f(x)在(-∞,
1
3
),(1,+∞)
上是增函數(shù)在(
1
3
,1)
上是減函數(shù)
∴f(x)在x=1處取得極小值
當(dāng)m=-4時(shí) f'(x)=-12x2-4x+16=-4(x-1)(3x+4)
∴f(x)在(-∞,-
4
3
)
(1,+∞)上是減函數(shù) 在(-
4
3
,1)
上是增函數(shù)
∴f(x)在x=1處取得極大值極大值,不符題意
∴m=1(6分)
(2)∵m=1
∴g(x)=x3-2x2+x+5-λ(x2+2x)
∴g'(x)=3x2-4x+1-λ(2x+2)
∵g(x)在(-1,+∞)上是增函數(shù),
∴不等式3x2-4x+1-λ(2x+2)≥0,x∈(-1,+∞)恒成立
λ≤
3x2-4x+1
2x+2
,x∈(-1,+∞)
恒成立
h(x)=
3x2-4x+1
2x+2
=
3(x+1)2-10(x+1)+8
2(x+1)
=
1
2
[3(x+1)+
8
x+1
]-5
1
2
•2
24
-5=2
6
-5
當(dāng)x=
2
6
3
-1
時(shí)等號(hào)成立
λ≤2
6
-5
(15分)
點(diǎn)評(píng):本題考查的知識(shí)點(diǎn)是函數(shù)在某點(diǎn)取得極值的條件,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,是導(dǎo)數(shù)問題的綜合應(yīng)用,難度中檔.
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=m•2x+t的圖象經(jīng)過點(diǎn)A(1,1)、B(2,3)及C(n,Sn),Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,n∈N*
(1)求Sn及an
(2)若數(shù)列{cn}滿足cn=6nan-n,求數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和Tn

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=m(x+
1
x
)的圖象與h(x)=(x+
1
x
)+2的圖象關(guān)于點(diǎn)A(0,1)對(duì)稱.
(1)求m的值;
(2)若g(x)=f(x)+
a
4x
在(0,2]上是減函數(shù),求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=
m
n
,其中
m
=(sinωx+cosωx,
3
cosωx)
,
n
=(cosωx-sinωx,2sinωx),其中ω>0,若f(x)相鄰兩對(duì)稱軸間的距離不小于
π
2

(Ⅰ)求ω的取值范圍;
(Ⅱ)在△ABC中,a,b,c分別是角A,B,C的對(duì)邊,a=
3
,b+c=3,當(dāng)ω最大時(shí),f(A)=1,求△ABC的面積.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

以下兩題任選一題:(若兩題都作,按第一題評(píng)分)
(一):在極坐標(biāo)系中,圓ρ=2cosθ的圓心到直線θ=
π
3
(ρ∈R)的距離
3
2
3
2
;
(二):已知函數(shù)f(x)=m-|x-2|,m∈R,當(dāng)不等式f(x+2)≥0的解集為[-2,2]時(shí),實(shí)數(shù)m的值為
2
2

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=m-|x-2|,m∈R,且f(x+2)≥0的解集為[-1,1].
(1)求m的值;
(2)若a,b,c∈R+,且
1
a
+
1
2b
+
1
3c
=m,求Z=a+2b+3c的最小值.

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案