Question

設(shè)集合A={1，2，…，n}，B={n+1，n+2，…，2n}，（n∈N^*且n≥2），現(xiàn)將集合A和B分別作為總體，從這兩個總體中各隨機(jī)抽取2個元素構(gòu)成樣本，記P_ij表示元素i和j同時出現(xiàn)在樣本中的概率．當(dāng)1≤i≤n≤j≤2n時，P_ij=

4

n2

；當(dāng)1≤i＜j≤2n，且i、j不在同一總體中時，所有P_ij的和為

4

．

Answer 1

分析：由組合知識及分步乘法計數(shù)原理求出從兩個總體中各隨機(jī)抽取2個元素構(gòu)成樣本的樣本容量，把i和j看作兩個特定的元素，然后再從兩個總體中各任取1個元素得到元素i和j同時出現(xiàn)在樣本中的抽法，最后利用古典概型概率計算公式求解；當(dāng)1≤i＜j≤2n，且i、j不在同一總體中時，所有P_ij的和可這樣理解：i可以是A中的1到n共n個元素，j也可以是B中的n+1到2n共n個元素，共有n•n=n²個元素i和j同時出現(xiàn)在樣本中的情況，求得概率．

解答：解：從總體A中隨機(jī)抽取2個元素，有

C

2 n

種不同的抽法，
從總體B中隨機(jī)抽取2個元素，有

C

2 n

種不同的抽法，
∴從這兩個總體中各隨機(jī)抽取2個元素構(gòu)成樣本，樣本容量為：

C

2 n

•

C

2 n

．
元素i在樣本中的抽法有

C

1 n-1

種，元素j在樣本中的抽法有

C

1 n-1

種，
∴元素i和j同時出現(xiàn)在樣本中的抽法共有

C

1 n-1

•

C

1 n-1

種．
由古典概型概率公式得，元素i和j同時出現(xiàn)在樣本中的概率P_ij=

C 1 n-1 • C 1 n-1

C 2 n • C 2 n

=

4

n2

；
∵i可以是集合A中的任意一個元素，j可以是集合B中的任意一個元素，
∴滿足1≤i＜j≤2n的所有P_ij的和為n•n•

4

n2

=4．
故答案為：

4

n2

；4．

點評：本題考查了古典概型及其概率計算公式，解答的關(guān)鍵是對題意的理解，屬中檔題．