Processing math: 100%
10.已知數(shù)列{an}的奇數(shù)項是首項為1的等差數(shù)列,偶數(shù)項是首項為2的等比數(shù)列.設(shè)數(shù)列{an}的前n項和為Sn,且滿足a4=S3,a9=a3+a4
(1)求數(shù)列{an}的通項公式;
(2)若akak+1=ak+2,求正整數(shù)k的值;
(3)是否存在正整數(shù)k,使得S2kS2k1恰好為數(shù)列{an}的一項?若存在,求出所有滿足條件的正整數(shù)k;若不存在,請說明理由.

分析 (1)設(shè){an}的奇數(shù)項構(gòu)成的等差數(shù)列的公差為d,偶數(shù)項構(gòu)成的等比數(shù)列的公比為q,運用通項公式,解方程可得d=2,q=3,即可得到所求通項公式;
(2)當(dāng)k為奇數(shù)時,當(dāng)k為偶數(shù)時,運用通項公式,解方程可得k的值;
(3)求得S2k,S2k-1,若S2kS2k1為數(shù)列{an}中的一項,整理化簡求得k,m的值,再由數(shù)學(xué)歸納法證明,即可得到結(jié)論.

解答 解:(1)設(shè){an}的奇數(shù)項構(gòu)成的等差數(shù)列的公差為d,
偶數(shù)項構(gòu)成的等比數(shù)列的公比為q,
a2n1=1+n1da2n=2qn1
由已知,得{2q=2+d+21+4d=1+d+2q{d=2q=3.
故數(shù)列{an}的通項公式為:an={n(dāng)n(shù)23n22(dāng)n(shù)
(2)當(dāng)k為奇數(shù)時,由akak+1=ak+2,
得 k23k12=k+23k12=k+22k
由于3k12Nk+22kk=2(shù)k(shù)
當(dāng)k為偶數(shù)時,由akak+1=ak+2,
得 23k22k+1=23k2k=2
綜上,得k=2.
(3)由(1)可求得S2k=[1+3++2k1]+21+3+32++3k1=3k+k21,S2k1=S2ka2k=3k1+k21
S2kS2k1為數(shù)列{an}中的一項,
S2kS2k1=mm(shù)S2kS2k1=23m22m(shù)
( i)若S2kS2k1=mm(shù),
3k+k213k1+k21=m3m3k1=m1k21
當(dāng)k=1時,m=3,結(jié)論成立;
當(dāng)k≠1時,3k1k21=m13m,由3k1k210m13m01m3
由于m為正奇數(shù),故此時滿足條件的正整數(shù)k不存在.
( ii)若S2kS2k1=23m22m(shù),顯然k≠1,
3k+k213k1+k21=23m22323m223k1=k2123m2213k1k21=23m221323m22
由k>1得3k1k21023m221323m220123m223m(shù)23m22(shù),
因此23m22=2,從而3k1k21=13k1=k21
當(dāng)k=2時,3k-1=k2-1;
下面用數(shù)學(xué)歸納法證明:當(dāng)k≥3時,3k-1>k2-1.
①當(dāng)k=3時,顯然3k-1>k2-1;
②假設(shè)當(dāng)k=l≥3時,有3l-1>l2-1;
當(dāng)k=l+1時,由l≥3得3(l2-1)-[(l+1)2-1]=(l-1)2+(l2-4)>0,
故3(l+1)-1=3•3l-1>3(l2-1)>(l+1)2-1,
即當(dāng)k=l+1時,結(jié)論成立.
由①,②知:當(dāng)k≥3時,3k-1>k2-1.
綜合( i),( ii)得:存在兩個正整數(shù)k,k=1或2,使S2kS2k1為數(shù)列{an}中的項.

點評 本題考查等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項公式和求和公式的運用,注意運用分類討論的思想方法和數(shù)學(xué)歸納法的證明,考查推理和運算能力,屬于中檔題.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

20.已知函數(shù)fx=2x+1x,數(shù)列{an}滿足:a1=2an+1=f1annN
(Ⅰ)求數(shù)列{an}的通項公式;
(Ⅱ)設(shè)數(shù)列{an}的前n項和為Sn,求數(shù)列{1Sn}的前n項和Tn

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:填空題

1.已知函數(shù)f(x)=3sin(ωx+π6)-2(ω>0)的圖象向右平移2π3個單位后與原圖象重合,則ω的最小值是3.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題

18.若復(fù)數(shù)z滿足(1+i)z=1-i(i為虛數(shù)單位),則|z|=(  )
A.2B.22C.2D.1

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題

5.已知正方體ABCD-A1B1C1D1,點E,F(xiàn),G分別是線段DC,D1D和D1B上的動點,給出下列結(jié)論:
①對于任意給定的點E,存在點F,使得AF⊥A1E;
②對于任意給定的點F,存在點E,使得AF⊥A1E;
③對于任意給定的點G,存在點F,使得AF⊥B1G;
④對于任意給定的點F,存在點G,使得AF⊥B1G.
其中正確結(jié)論的個數(shù)是( �。�
A.0B.1C.2D.3

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題

15.已知公差不為零的等差數(shù)列{an}(n≥3)的最大項為正數(shù).若將數(shù)列{an}中的項重新排列得到公比為q的等比數(shù)列{bn}.則下列說法正確的是( �。�
A.q>0時,數(shù)列{bn}中的項都是正數(shù)B.數(shù)列{an}中一定存在的為負數(shù)的項
C.數(shù)列{an}中至少有三項是正數(shù)D.以上說法都不對

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:填空題

2.設(shè)e1,e2是平面內(nèi)兩個不共線的向量,a=xe1-3e2(x∈R),\overrightarrow=2e1+e2.若a,則x的值為-6.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:填空題

19.已知函數(shù)f(x)=\left\{\begin{array}{l}\sqrt{x+1},x≥3\\-2x+8,x<3\end{array},則f(f(-2))=13

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

20.?dāng)?shù)列{an}的前n項和記為Sn,若對任意的正整數(shù)n,總存在正整數(shù)m,使得Sn=am,則稱{an}是“G數(shù)列”.
(1)若數(shù)列{an}的通項公式an=2n,判斷{an}是否為“G數(shù)列”;
(2)等差數(shù)列{an},公差d≠0,a1=2d,求證:{an}是“G數(shù)列”;
(3)設(shè)Sn與an滿足(1-q)Sn+an+1=r,其中a1=2t>0,q≠0.若{an}是“G數(shù)列”,求q,r滿足的條件.

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案
闁稿骏鎷� 闂傚偊鎷�