Question

10．已知數(shù)列{a_n}的奇數(shù)項是首項為1的等差數(shù)列，偶數(shù)項是首項為2的等比數(shù)列．設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，且滿足a₄=S₃，a₉=a₃+a₄．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）若a_ka_k+1=a_k+2，求正整數(shù)k的值；
（3）是否存在正整數(shù)k，使得$\frac{{{S_{2k}}}}{{{S_{2k-1}}}}$恰好為數(shù)列{a_n}的一項？若存在，求出所有滿足條件的正整數(shù)k；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）設(shè){a_n}的奇數(shù)項構(gòu)成的等差數(shù)列的公差為d，偶數(shù)項構(gòu)成的等比數(shù)列的公比為q，運用通項公式，解方程可得d=2，q=3，即可得到所求通項公式；
（2）當(dāng)k為奇數(shù)時，當(dāng)k為偶數(shù)時，運用通項公式，解方程可得k的值；
（3）求得S_2k，S_2k-1，若$\frac{{{S_{2k}}}}{{{S_{2k-1}}}}$為數(shù)列{a_n}中的一項，整理化簡求得k，m的值，再由數(shù)學(xué)歸納法證明，即可得到結(jié)論．

解答 解：（1）設(shè){a_n}的奇數(shù)項構(gòu)成的等差數(shù)列的公差為d，
偶數(shù)項構(gòu)成的等比數(shù)列的公比為q，
則${a_{2n-1}}=1+（n-1）d，\;\;{a_{2n}}=2{q^{n-1}}$．
由已知，得$\left\{\begin{array}{l}2q=（2+d）+2\\ 1+4d=（1+d）+2q\end{array}\right.⇒\left\{\begin{array}{l}d=2\\ q=3.\end{array}\right.$
故數(shù)列{a_n}的通項公式為：${a_n}=\left\{\begin{array}{l}n，（當(dāng)n為奇數(shù)）\\ 2•{3^{\frac{n-2}{2}}}，（當(dāng)n為偶數(shù)）\end{array}\right.$．
（2）當(dāng)k為奇數(shù)時，由a_ka_k+1=a_k+2，
得 $k•2•{3^{\frac{k-1}{2}}}=k+2\;⇒{3^{\frac{k-1}{2}}}=\frac{k+2}{2k}$．
由于${3^{\frac{k-1}{2}}}∈{N^*}，而\frac{k+2}{2k}僅在k=2時為正整數(shù)，與k為奇數(shù)矛盾！$
當(dāng)k為偶數(shù)時，由a_ka_k+1=a_k+2，
得 $2•{3^{\frac{k-2}{2}}}•（k+1）=2•{3^{\frac{k}{2}}}\;⇒k=2$．
綜上，得k=2．
（3）由（1）可求得${S_{2k}}=[{1+3+…+（2k-1）}]+2（1+3+{3^2}+…+{3^{k-1}}）={3^k}+{k^2}-1$，${S_{2k-1}}={S_{2k}}-{a_{2k}}={3^{k-1}}+{k^2}-1$．
若$\frac{{{S_{2k}}}}{{{S_{2k-1}}}}$為數(shù)列{a_n}中的一項，
則$\frac{{{S_{2k}}}}{{{S_{2k-1}}}}=m（m為正奇數(shù)），或\frac{{{S_{2k}}}}{{{S_{2k-1}}}}=2•{3^{\frac{m-2}{2}}}（m為正偶數(shù)）$．
（ i）若$\frac{{{S_{2k}}}}{{{S_{2k-1}}}}=m（m為正奇數(shù)）$，
則$\frac{{{3^k}+{k^2}-1}}{{{3^{k-1}}+{k^2}-1}}=m⇒（3-m）{3^{k-1}}=（m-1）（{k^2}-1）$．
當(dāng)k=1時，m=3，結(jié)論成立；
當(dāng)k≠1時，$\frac{{{3^{k-1}}}}{{{k^2}-1}}=\frac{m-1}{3-m}$，由$\frac{{{3^{k-1}}}}{{{k^2}-1}}＞0，得\frac{m-1}{3-m}＞0，解得1＜m＜3$，
由于m為正奇數(shù)，故此時滿足條件的正整數(shù)k不存在．
（ ii）若$\frac{{{S_{2k}}}}{{{S_{2k-1}}}}=2•{3^{\frac{m-2}{2}}}（m為正偶數(shù)）$，顯然k≠1，
$\frac{{{3^k}+{k^2}-1}}{{{3^{k-1}}+{k^2}-1}}=2•{3^{\frac{m-2}{2}}}⇒（3-2•{3^{\frac{m-2}{2}}}）{3^{k-1}}=（{k^2}-1）（2•{3^{\frac{m-2}{2}}}-1）⇒\frac{{{3^{k-1}}}}{{{k^2}-1}}=\frac{{2•{3^{\frac{m-2}{2}}}-1}}{{3-2•{3^{\frac{m-2}{2}}}}}$．
由k＞1得$\frac{{{3^{k-1}}}}{{{k^2}-1}}＞0，得\frac{{2•{3^{\frac{m-2}{2}}}-1}}{{3-2•{3^{\frac{m-2}{2}}}}}＞0⇒1＜2•{3^{\frac{m-2}{2}}}＜3$．$由m為正偶數(shù)，得2•{3^{\frac{m-2}{2}}}為正偶數(shù)$，
因此$2•{3^{\frac{m-2}{2}}}=2$，從而$\frac{{{3^{k-1}}}}{{{k^2}-1}}=1⇒{3^{k-1}}={k^2}-1$．
當(dāng)k=2時，3^k-1=k²-1；
下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：當(dāng)k≥3時，3^k-1＞k²-1．
①當(dāng)k=3時，顯然3^k-1＞k²-1；
②假設(shè)當(dāng)k=l≥3時，有3^l-1＞l²-1；
當(dāng)k=l+1時，由l≥3得3（l²-1）-[（l+1）²-1]=（l-1）²+（l²-4）＞0，
故3^（l+1）-1=3•3^l-1＞3（l²-1）＞（l+1）²-1，
即當(dāng)k=l+1時，結(jié)論成立．
由①，②知：當(dāng)k≥3時，3^k-1＞k²-1．
綜合（ i），（ ii）得：存在兩個正整數(shù)k，k=1或2，使$\frac{{{S_{2k}}}}{{{S_{2k-1}}}}$為數(shù)列{a_n}中的項．

點評 本題考查等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項公式和求和公式的運用，注意運用分類討論的思想方法和數(shù)學(xué)歸納法的證明，考查推理和運算能力，屬于中檔題．