分析 (1)設(shè){an}的奇數(shù)項構(gòu)成的等差數(shù)列的公差為d,偶數(shù)項構(gòu)成的等比數(shù)列的公比為q,運用通項公式,解方程可得d=2,q=3,即可得到所求通項公式;
(2)當(dāng)k為奇數(shù)時,當(dāng)k為偶數(shù)時,運用通項公式,解方程可得k的值;
(3)求得S2k,S2k-1,若S2kS2k−1為數(shù)列{an}中的一項,整理化簡求得k,m的值,再由數(shù)學(xué)歸納法證明,即可得到結(jié)論.
解答 解:(1)設(shè){an}的奇數(shù)項構(gòu)成的等差數(shù)列的公差為d,
偶數(shù)項構(gòu)成的等比數(shù)列的公比為q,
則a2n−1=1+(n−1)d,a2n=2qn−1.
由已知,得{2q=(2+d)+21+4d=(1+d)+2q⇒{d=2q=3.
故數(shù)列{an}的通項公式為:an={n,(當(dāng)n為奇數(shù))2•3n−22,(當(dāng)n為偶數(shù)).
(2)當(dāng)k為奇數(shù)時,由akak+1=ak+2,
得 k•2•3k−12=k+2⇒3k−12=k+22k.
由于3k−12∈N∗,而k+22k僅在k=2時為正整數(shù),與k為奇數(shù)矛盾!
當(dāng)k為偶數(shù)時,由akak+1=ak+2,
得 2•3k−22•(k+1)=2•3k2⇒k=2.
綜上,得k=2.
(3)由(1)可求得S2k=[1+3+…+(2k−1)]+2(1+3+32+…+3k−1)=3k+k2−1,S2k−1=S2k−a2k=3k−1+k2−1.
若S2kS2k−1為數(shù)列{an}中的一項,
則S2kS2k−1=m(m為正奇數(shù)),或S2kS2k−1=2•3m−22(m為正偶數(shù)).
( i)若S2kS2k−1=m(m為正奇數(shù)),
則3k+k2−13k−1+k2−1=m⇒(3−m)3k−1=(m−1)(k2−1).
當(dāng)k=1時,m=3,結(jié)論成立;
當(dāng)k≠1時,3k−1k2−1=m−13−m,由3k−1k2−1>0,得m−13−m>0,解得1<m<3,
由于m為正奇數(shù),故此時滿足條件的正整數(shù)k不存在.
( ii)若S2kS2k−1=2•3m−22(m為正偶數(shù)),顯然k≠1,
3k+k2−13k−1+k2−1=2•3m−22⇒(3−2•3m−22)3k−1=(k2−1)(2•3m−22−1)⇒3k−1k2−1=2•3m−22−13−2•3m−22.
由k>1得3k−1k2−1>0,得2•3m−22−13−2•3m−22>0⇒1<2•3m−22<3.由m為正偶數(shù),得2•3m−22為正偶數(shù),
因此2•3m−22=2,從而3k−1k2−1=1⇒3k−1=k2−1.
當(dāng)k=2時,3k-1=k2-1;
下面用數(shù)學(xué)歸納法證明:當(dāng)k≥3時,3k-1>k2-1.
①當(dāng)k=3時,顯然3k-1>k2-1;
②假設(shè)當(dāng)k=l≥3時,有3l-1>l2-1;
當(dāng)k=l+1時,由l≥3得3(l2-1)-[(l+1)2-1]=(l-1)2+(l2-4)>0,
故3(l+1)-1=3•3l-1>3(l2-1)>(l+1)2-1,
即當(dāng)k=l+1時,結(jié)論成立.
由①,②知:當(dāng)k≥3時,3k-1>k2-1.
綜合( i),( ii)得:存在兩個正整數(shù)k,k=1或2,使S2kS2k−1為數(shù)列{an}中的項.
點評 本題考查等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項公式和求和公式的運用,注意運用分類討論的思想方法和數(shù)學(xué)歸納法的證明,考查推理和運算能力,屬于中檔題.
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A. | √2 | B. | √22 | C. | 2 | D. | 1 |
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A. | 0 | B. | 1 | C. | 2 | D. | 3 |
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A. | q>0時,數(shù)列{bn}中的項都是正數(shù) | B. | 數(shù)列{an}中一定存在的為負數(shù)的項 | ||
C. | 數(shù)列{an}中至少有三項是正數(shù) | D. | 以上說法都不對 |
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