Question

22.設橢圓+y²=1的兩個焦點是F₁（－c，0）與F₂（c，0）（c＞0），且橢圓上存在點P，使得直線PF₁與直線PF₂垂直.

（Ⅰ）求實數m的取值范圍;

（Ⅱ）設L是相應于焦點F₂的準線，直線PF₂與L相交于點Q.若=

2－.求直線PF₂的方程.

　

Answer 1

22. 本小題主要考查直線和橢圓的基本知識，以及綜合分析和解題能力.

　　解：（Ⅰ）由題設有m＞0，c=，

設點P的坐標為（x₀，y₀），由PF₁⊥PF₂，得=－1，

化簡得x₀²+y=m.                                                         ①

將①與+y₀²=1聯(lián)立，解得x₀²=，y₀²=.

由m＞0，x₀²=≥0，得m≥1.

所以m的取值范圍是m≥1.

（Ⅱ）準線L的方程為x=.設點Q的坐標為（x₁，y₁），則

x₁=.

==.                                     ②

將x₀=代入②，化簡得

==m+.

由題設=2－，得m+=2－，無解.

將x₀=－代入②，化簡得

==m－.

由題設=2－，得m－=2－.

解得m=2.

從而x₀=－，y₀=±，c=，得PF₂的方程

y=±（－2）（x－）.