Question

5．已知向量$\overrightarrow m=（1，1）$，向量$\overrightarrow{m}$與向量$\overrightarrow{n}$的夾角為135°，且$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$=-1．
（1）求$\overrightarrow{n}$；
（2）若$\overrightarrow n$與$\overrightarrow q=（1，0）$的夾角為$\frac{π}{2}$，$\overrightarrow p=（cosA，2{cos^2}\frac{C}{2}）$，其中∠A，∠B，∠C為三角形三內角，$B=\frac{π}{2}$，求$|\overrightarrow p+\overrightarrow n|$．

Answer 1

分析 （1）根據向量的數(shù)量積公式和向量的夾角公式得到關于x，y的方程組，解得即可，
（2）先根據向量的垂直求出向量$\overrightarrow{n}$，再根據向量的坐標的運算和三角函數(shù)的化簡，即可求出$|\overrightarrow p+\overrightarrow n|$．

解答 解：（1）設$\overrightarrow{n}$=（x，y），
∵向量$\overrightarrow m=（1，1）$，向量$\overrightarrow{m}$與向量$\overrightarrow{n}$的夾角為135°，且$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$=-1．
∴$\frac{-1}{\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}•\sqrt{2}}=cos135°$，即x²+y²=1，且x+y=-1，
解得x=-1，y=0，或x=0，y=-1
∴$\overrightarrow n=（-1，0）或（0，-1）$，
（2）∵$\overrightarrow n$與$\overrightarrow q=（1，0）$的夾角為$\frac{π}{2}$，
∴$\overrightarrow{n}$•$\overrightarrow{q}$=x=0，
∴$\overrightarrow{n}$=（0，-1），
∴$\overrightarrow{p}$+$\overrightarrow{n}$=$（cosA，2{cos^2}\frac{C}{2}-1）=（cosA，cosA）$，
∴$|\overrightarrow p+\overrightarrow n|=1$

點評 本題考查了向量的數(shù)量積公式和向量的垂直以及三角函數(shù)的化簡，屬于中檔題．