Question

已知函數(shù)f(x)=

a

x

+lnx(a∈R)．
（1）討論f（x）的單調(diào)性及極值；
（2）設(shè)0＜a≤

2

，證明：對任意x1：x2∈(0，

a

2

)，|f(x1)-f(x2)|≥a|x_-x2|．

Answer 1

分析：（1）借助于導(dǎo)數(shù)，討論參數(shù)，得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值；
（2）借助于（1）的單調(diào)區(qū)間可知函數(shù)在（0，

a

2

）的單調(diào)性，構(gòu)建新函數(shù)，再借助其導(dǎo)數(shù)，判斷新函數(shù)的單調(diào)性，即得證．

解答：解：（1）由f′(x)=-

a

x2

+

1

x

=

x-a

x2

①當(dāng)a≤0時，f′（x）＞0，故f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，無極值；
②當(dāng)a＞0時，若0＜x＜a，f^′（x）＜0，故函數(shù)f（x）在（0，a）上單調(diào)遞減，
若x＞a，f′（x）＞0，故f（x）在（a，+∞）上單調(diào)遞增，
所以極小值f（a）=1+lna，無極大值．
（2）證明：不妨設(shè)x₁≥x₂，而0＜a≤

2

，由（1）知f（x）在（0，

a

2

）的單調(diào)遞減，
故對任意x1，x2∈(0，

a

2

)，|f（x₁）-f（x₂）|≥a|x₁-x₂|等價于：
對任意x1：x2∈(0，

a

2

)，f(x2)-f(x1)≥a(x1-x2)
即f（x₁）+ax₁≤f（x₂）+ax₂
令g（x）=f（x）+ax，則g′(x)=

ax2+x-a

x2

，
令h（x）=ax²+x-a，∵0＜a≤

2

，
∴h（0）=-a＜0，h(

a

2

)=

a3

4

+

a

2

-a=

a(a2-2)

4

≤0，
則g′(x)＜0(0＜x＜

a

2

)，故g（x）在（0，

a

2

）上單調(diào)遞減，
又由x₁≥x₂，∴g（x₂）≥g（x₁），即f（x₂）+ax₂≥f（x₁）+ax₁
∴對任意x1：x2∈(0，

a

2

)，|f(x1)-f(x2)|≥a|x1-x2|．

點評：本題主要考查導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)與原函數(shù)的單調(diào)性之間的關(guān)系，即當(dāng)導(dǎo)函數(shù)大于0時原函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)導(dǎo)函數(shù)小于0時原函數(shù)單調(diào)遞減．