Question

（本小題滿分12分）

已知橢圓方程為，P為橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，F(xiàn)₁、F₂為橢圓的兩焦點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)P不在x軸上時(shí)，過F₁作∠F₁PF₂的外角平分線的垂線F₁M，垂足為M，當(dāng)點(diǎn)P在x軸上時(shí)，定義M與P重合．

（Ⅰ）求M點(diǎn)的軌跡T的方程；

（Ⅱ）已知、，試探究是否存在這樣的點(diǎn)：是軌跡T內(nèi)部的整點(diǎn)（平面內(nèi)橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)稱為整點(diǎn)），且△OEQ的面積？若存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)，若不存在，說明理由．

Answer 1

（本小題滿分12分）

解：（Ⅰ）當(dāng)點(diǎn)P不在x軸上時(shí)，延長(zhǎng)F₁M與F₂P的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)N,連結(jié)OM，

∵,  ∴≌ ∴M是線段的中點(diǎn)，|，

∴ = ==

∵點(diǎn)P在橢圓上

∴＝    ∴＝4，

當(dāng)點(diǎn)P在x軸上時(shí)，M與P重合

∴M點(diǎn)的軌跡T的方程為：．

（Ⅱ）連結(jié)OE，易知軌跡T上有兩個(gè)點(diǎn)

A，B滿足,

分別過A、B作直線OE的兩條平行線、.

∵同底等高的兩個(gè)三角形的面積相等

∴符合條件的點(diǎn)均在直線、上.

∵   ∴直線、的方程分別為：

、

設(shè)點(diǎn) （ ）∵在軌跡T內(nèi)，∴

分別解與，得 與

∵∴為偶數(shù)，在上對(duì)應(yīng)的

在上，對(duì)應(yīng)的

∴滿足條件的點(diǎn)存在，共有6個(gè)，它們的坐標(biāo)分別為：

．