Question

【題目】已知函數(shù)，．

（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；

（2）設(shè)函數(shù)，若在上存在極值，求的取值范圍，并判斷極值的正負(fù)．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）當(dāng)時，在上存在極值，且極值都為正數(shù)

【解析】分析：（1）先求導(dǎo)，再對a分類討論得到函數(shù)的單調(diào)性.(2)先求導(dǎo)，

再構(gòu)造函數(shù)研究函數(shù)在上的極值情況，求的取值范圍，并判斷極值的正負(fù)．

詳解：（1）定義域為，，

①當(dāng)時，在上恒成立，所以在上單調(diào)遞增；

②當(dāng)時，令，得，

∴當(dāng)時，，單調(diào)遞減，

當(dāng)時，，單調(diào)遞增．

綜上所述，當(dāng)時，在上單調(diào)遞增；

當(dāng)時，在單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．

（2），，

∴，

設(shè)，則，

由，得，

當(dāng)時，；當(dāng)時，，

∴在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，

且，，，

顯然，

結(jié)合圖象可知，若在上存在極值，則

解得．

①當(dāng)即時，

則必定，，使得，且，

當(dāng)變化時，，，的變化情況如表：

		極小值		極大值

∴當(dāng)時，在上的極值為，，且，

∵，

設(shè)，其中，．

∵，∴在上單調(diào)遞增，，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號．　

∵，∴，

∴當(dāng)時，在上的極值.

②當(dāng)即時，

則必定，使得，

易知在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，

此時，在上的極大值是，且，

∴當(dāng)時，在上存在極值，且極值都為正數(shù)，

綜上所述，當(dāng)時，在上存在極值，且極值都為正數(shù)．