Question

已知直線(xiàn)l：y=kx+b，曲線(xiàn)M：y=|x²-2|．
（1）若k=1且直線(xiàn)與曲線(xiàn)恰有三個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，求實(shí)數(shù)b的取值；
（2）若b=1，直線(xiàn)與曲線(xiàn)M的交點(diǎn)依次為A，B，C，D四點(diǎn)，求|AB+|CD|的取值范圍．

Answer 1

解（Ⅰ）分兩種情況：
1）有惟一解，即x²+x+b-2=0在（-，）內(nèi)有一解，
由△=1-4b+8=0，得 ，符合．
2）直線(xiàn)過(guò)點(diǎn)（-，0），得0=-+b，得，
綜上，實(shí)數(shù)b為 或 ．
（Ⅱ）由，得x²-kx-3=0，
則有：，且 ．
由，得 x²+kx-1=0，則有：．
所以，|AB|+|CD|=|AD|-|BC|==
=，且 ．
令t=k²，則 ，則，且函數(shù)y是增函數(shù)，
所以，．
分析：（Ⅰ）由題意知，直線(xiàn)和半圓只有一個(gè)交點(diǎn)或直線(xiàn)過(guò)點(diǎn)（-，0），兩種情況分別求出實(shí)數(shù)b的取值．
（Ⅱ）先利用弦長(zhǎng)公式求出直線(xiàn)和拋物段的2個(gè)交點(diǎn)間的距離AD的長(zhǎng)度，同理求出直線(xiàn)與半圓的2個(gè)交點(diǎn)間的距離
BC的長(zhǎng)度，利用|AB|+|CD|=|AD|-|BC|求出|AB+|CD|的取值范圍．
點(diǎn)評(píng)：本題考查二次函數(shù)的圖象特征，直線(xiàn)和二次曲線(xiàn)的位置關(guān)系，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合及分類(lèi)討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．