Question

（本小題滿分14分）已知A，B分別是直線y＝x和y＝－x上的兩個動點，線段AB的長為2，D是AB的中點．

（Ⅰ）求動點D的軌跡C的方程；

（Ⅱ）若過點(1,0)的直線l與曲線C交于不同兩點P、Q，

① 當|PQ|＝3時，求直線l的方程；

② 試問在x軸上是否存在點E(m,0)，使·恒為定值？若存在，求出E點的坐標及定值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

（Ⅰ）x2+y2=3；（Ⅱ）﹣2 .

【解析】

試題分析：（Ⅰ）設，然后根據(jù)線段AB的長為，D是AB的中點消去a與b，得到x與y的等量關系，即為動點D的軌跡C的方程；

（Ⅱ）①討論直線l與x軸是否垂直，然后利用點到直線的距離公式建立等式關系，從而求出直線方程；

②討論直線l的斜率是否存在，不存在時直接求，存在時，將直線與圓聯(lián)立方程組，消去y，然后設，將表示出來，使其與k無關即可求出m的值．

試題解析：

【解析】
（Ⅰ）設，

∵D是AB的中點，∴x=，y=，

∵|AB|=，∴（a﹣b）2+（a+b）2=12，

∴（2y）2+（2x）2=12，∴點D的軌跡C的方程為x2+y2=3．

（Ⅱ）①當直線l與x軸垂直時，P（1，），Q（1，﹣），此時|PQ|=2，不符合題意；

當直線l與x軸不垂直時，設直線l的方程為y=k（x﹣1），由于|PQ|=3，所以圓心C到直線l的距離為，

由=，解得k=±．故直線l的方程為y=±（x﹣1）．

②當直線l的斜率存在時，設其斜率為k，則l的方程為y=k（x﹣1），

由消去y得（k2+1）x2﹣2k2x+k2﹣3=0，

設則由韋達定理得，，

則， ，

∴

要使上式為定值須，解得m=1，∴為定值﹣2，

當直線l的斜率不存在時P（1，），Q（1，﹣），

由E（1，0）可得=（0，﹣），=（0，），

∴=﹣2，

綜上所述當E（1，0）時，為定值﹣2．

考點：①向量在幾何中的應用；②軌跡問題和直線和圓的方程的應用；③轉化的思想和計算的能力.