Question

16．在三棱錐P-ABC中，PA⊥底面ABC，AB=1，AC=2，∠BAC=60°，體積為$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$，則三棱錐的外接球的體積等于$\frac{8\sqrt{2}}{3}$π．

Answer 1

分析 利用三棱錐的體積公式，求出PA，由余弦定理求出BC，可得△ABC外接圓的半徑，從而可求該三棱錐的外接球的半徑，即可求出三棱錐P-ABC的外接球的體積．

解答 解：∵三棱錐P-ABC中，PA⊥底面ABC，AB=1，AC=2，∠BAC=60°，體積為$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$，
∴$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×1×2×\frac{\sqrt{3}}{2}×PA$=$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$，∴PA=2．
∵AB=1，AC=2，∠BAC=60°，
∴由余弦定理可得BC=$\sqrt{1+4-2×1×2×\frac{1}{2}}$=$\sqrt{3}$，
設(shè)△ABC外接圓的半徑為r，則2r=$\frac{\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$=2，
∴r=1，
設(shè)球心到平面ABC的距離為d，則由勾股定理可得R²=d²+1²=1²+（2-d）²，
∴d=1，R²=2，
∴三棱錐P-ABC的外接球的體積為$\frac{4}{3}$πR³=$\frac{8\sqrt{2}}{3}$π．
故答案為：$\frac{8\sqrt{2}}{3}$π．

點評 本題考查三棱錐P-ABC的外接球的體積，考查學生的計算能力，確定三棱錐P-ABC的外接球的半徑是關(guān)鍵．