已知函數(其中,e是自然對數的底數).
(Ⅰ)若,試判斷函數在區(qū)間上的單調性;
(Ⅱ)若函數有兩個極值點,(),求k的取值范圍;
(Ⅲ)在(Ⅱ)的條件下,試證明.
(Ⅰ)在區(qū)間上是單調遞減函數;(Ⅱ)k的取值范圍是;(Ⅲ)詳見解析.
解析試題分析:(Ⅰ)將代入求導,根據其符號即可得其單調性;(Ⅱ)函數有兩個極值點,,則,是的兩個根,即方程有兩個根.接下來就研究函數圖象特征,結合圖象便可知取何值時,方程有兩個根.
(Ⅲ)結合圖象可知,函數的兩個極值點,滿足.
,這里面有兩個變量,那么能否換掉一個呢?
由,得,利用這個關系式便可將換掉而只留:
,這樣根據的范圍,便可得,從而使問題得證.
試題解析:(Ⅰ)若,,則,
當時,,
故函數在區(qū)間上是單調遞減函數. 4分
(Ⅱ)函數有兩個極值點,,則,是的兩個根,
即方程有兩個根,設,則,
當時,,函數單調遞增且;
當時,,函數單調遞增且;
當時,,函數單調遞減且.
要使有兩個根,只需,
故實數k的取值范圍是. 9分
(Ⅲ)由(Ⅱ)的解法可知,函數的兩個極值點,滿足, 10分
由,得,
所以,
由于,故,
所以. 14分
考點:1、導數的應用;2、不等關系.
科目:高中數學 來源: 題型:解答題
如圖,半徑為30的圓形(為圓心)鐵皮上截取一塊矩形材料,其中點在圓弧上,點在兩半徑上,現(xiàn)將此矩形材料卷成一個以為母線的圓柱形罐子的側面(不計剪裁和拼接損耗),設與矩形材料的邊的夾角為,圓柱的體積為.
(Ⅰ)求關于的函數關系式?
(Ⅱ)求圓柱形罐子體積的最大值.
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科目:高中數學 來源: 題型:解答題
已知函數f(x)=2ax--(2+a)lnx(a≥0)
(Ⅰ)當時,求的極值;
(Ⅱ)當a>0時,討論的單調性;
(Ⅲ)若對任意的a∈(2,3),x1,x2∈[1,3],恒有成立,求實數m的取值范圍。
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