Question

已知定義在區(qū)間[-π，

3π

2

]上的函數(shù)y=f（x）圖象關(guān)于直線(xiàn)x=

π

4

對(duì)稱(chēng)，當(dāng)x≥

π

4

時(shí)，f（x）=-sinx．
（1）作出y=f（x）的圖象；
（2）求y=f（x）的解析式；
（3）若關(guān)于x的方程f(x)=-

9

10

有解，將方程所有的解的和記為M，結(jié)合（1）中函數(shù)圖象，求M的值．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)圖象的對(duì)稱(chēng)性做出y=f（x）的圖象．
（2）任取x∈[-π，

π

4

]，則

π

2

-x∈[

π

4

，

3π

2

]，由題意得f(x)=f(

π

2

-x)．再根據(jù)當(dāng)x≥

π

4

時(shí)，f（x）=-sinx，
求出解析式．
（3）因?yàn)?

9

10

∈（-1，-

2

2

），f（x）=-

9

10

 有4個(gè)根滿(mǎn)足 x₁＜x₂＜

π

4

＜x₃＜x₄，利用對(duì)稱(chēng)性求出M的值．

解答：解：（1）y=f（x）的圖象如圖所示．
（.4分）
（2）任取x∈[-π，

π

4

]，則

π

2

-x∈[

π

4

，

3π

2

]，由于函數(shù)f（x）圖象關(guān)于直線(xiàn)x=

π

4

對(duì)稱(chēng)，
則f(x)=f(

π

2

-x)．（6分）
又當(dāng)x≥

π

4

時(shí)，f（x）=-sinx，則f(x)=f(

π

2

-x)=-sin（

π

2

-x）=-cosx，（8分）
即f(x)=

-cosx，x∈[-π， π 4 ) -sinx，x∈[ π 4 ， 3π 2 ]

．（10分）
（3）因?yàn)?

9

10

∈（-1，-

2

2

），f（x）=-

9

10

 有4個(gè)根滿(mǎn)足 x₁＜x₂＜

π

4

＜x₃＜x₄，（12分）
由對(duì)稱(chēng)性得，x₁+x₂=0，x₃+x₄=π，則M=x₁+x₂ +x₃+x₄=π．（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查正弦函數(shù)的圖象，根的存在性及根的個(gè)數(shù)判斷，以及函數(shù)與方程的思想，解答關(guān)鍵是運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想，屬于中檔題．