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17.已知函數f(x)=x+1ex
(Ⅰ)求函數f(x)的單調區(qū)間;
(Ⅱ)若直線y=kx與曲線y=f(x)沒有公共點,求實數k的取值范圍.

分析 (Ⅰ)求出函數的導數,解關于導函數的不等式,求出函數的單調區(qū)間即可;
(Ⅱ)問題等價于關于x的方程kx=x+1ex在R上沒有實數解,即關于x的方程:(k-1)x=1ex(*)在R上沒有實數解.

解答 解:(Ⅰ)f(x)=x+1ex.f′(x)=1-1ex=ex1ex,
令f′(x)>0,解得:x>0,令f′(x)<0,解得:x<0,
∴f(x)在(-∞,0)遞減,在(0,+∞)遞增;
(Ⅱ)直線y=kx與曲線y=f(x)沒有公共點,
等價于關于x的方程kx=x+1ex在R上沒有實數解,
即關于x的方程:(k-1)x=1ex(*)在R上沒有實數解;
①當k=1時,方程(*)可化為1ex=0,在R上沒有實數解;
②當k≠1時,方程(*)化為1k1=xex,
令g(x)=xex,則有g′(x)=(1+x)ex,
令g'(x)=0,得x=-1,
當x=-1時,g(x)min=-1e
同時當x趨于+∞時,g(x)趨于+∞,
從而g(x)的取值范圍為[-1e,+∞),
所以當1k1∈(-∞,-1e)時,方程(*)無實數解,
解得k的取值范圍是(1-e,1),
綜上,解得k的取值范圍是(1-e,1].

點評 本題是難題,考查函數導數在解決切線方程,函數的極值與最值的應用,注意轉化思想的應用,是難度較大的題目,常考題型.

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