Question

12．如圖（1），在三角形PCD中，AB為其中位線(xiàn)，且2BD=PC=2$\sqrt{6}$，CD=2$\sqrt{2}$，若沿AB將三角形PAB折起，使∠PAD=120°，構(gòu)成四棱錐P-ABCD，構(gòu)成四棱錐P-ABCD（如圖2），且$\frac{PC}{PF}$=$\frac{CD}{CE}$=2
（1）求證：平面BEF⊥平面PAB；
（2）求平面PBC與平面PAD所成的二面角的余弦值．

Answer 1

分析 （1）推導(dǎo)出四邊形ABED是平行四邊形，BA⊥平面PAD，CD⊥平面PAD，CD⊥PD，CD⊥AD，CD⊥FE，CD⊥BE，CD⊥平面BEF，由此能證明平面BEF⊥平面PCD．
（2）以A為原點(diǎn)，AB為x軸，AD為y軸，過(guò)A作面ABD的垂線(xiàn)為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出平面PBC與平面PAD所成的二面角的余弦值．

解答 證明：（1）∵在三角形PCD中，AB為其中位線(xiàn)，且2BD=PC，
∴∠PDC=90°，AB∥CD，
∵$\frac{PC}{PF}$=$\frac{CD}{CE}$=2，∴E為CD中點(diǎn)，CD=2AB，
∴AB∥DE，且AB=DE，∴四邊形ABED是平行四邊形，∴BE∥AD，且BE=AD，
∵BA⊥PA，BA⊥AD，又PA∩AD=A，∴BA⊥平面PAD，
∵AB∥CD，∴CD⊥平面PAD，
又∵PD?平面PAD，AD?平面PAD，
∴CD⊥PD，CD⊥AD，又∵在平面PCD中，EF∥PD，∴CD⊥FE，
∵在平面ABCD中，BE∥AD，∴CD⊥BE，
∵FE∩BE=E，F(xiàn)E?平面BEF，BE?平面BEF，
∴CD⊥平面BEF，
又∵CD?平面PCD，∴平面BEF⊥平面PCD．
解：（2）以A為原點(diǎn)，AB為x軸，AD為y軸，過(guò)A作面ABD的垂線(xiàn)為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
由（1）知BA⊥平面PAD，∴z軸位于平面PAD內(nèi)，∴∠PAz=30°，
P到z軸的距離為1，∴P（0，-1，$\sqrt{3}$），
A（0，0，0），B（$\sqrt{2}，0，0$），C（2$\sqrt{2}$，2，0），
$\overrightarrow{PB}$=（$\sqrt{2}，1，-3$），$\overrightarrow{BC}$=（$\sqrt{2}，2，0$），$\overrightarrow{AB}$=（$\sqrt{2}，0，0$），
設(shè)平面PBA的法向量為$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PB}=\sqrt{2}x+y-\sqrt{3}z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BC}=\sqrt{2}x+2y=0}\end{array}\right.$，取y=1，得$\overrightarrow{n}$=（-$\sqrt{2}，1，-\frac{\sqrt{3}}{3}$），
平面PAD的法向量$\overrightarrow{m}$=（1，0，0），
設(shè)平面PBC與平面PAD所成的二面角的平面角為θ，
則cosθ=$\frac{|\overrightarrow{n}•\overrightarrow{m}|}{|\overrightarrow{n}|•|\overrightarrow{m}|}$=$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2+1+\frac{1}{3}}}$=$\frac{\sqrt{15}}{5}$，
∴平面PBC與平面PAD所成的二面角的余弦值為$\frac{\sqrt{15}}{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查面面垂直的證明，考查二面角的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用．