已知函數(shù)f(x)=2lnx-a(x-
1
x
)(a≠0)有兩個不同的極值點x1,x2(x1<x2).
(Ⅰ)求a的取值范圍;
(Ⅱ)設(shè)
1
e
x1
<1,求f(x)極小值的取值范圍.
考點:利用導數(shù)研究函數(shù)的極值,利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性
專題:導數(shù)的綜合應用
分析:(Ⅰ)利用導數(shù)研究函數(shù)的極值,求導,f′(x)=
2
x
-a-
a
x2
=
-ax2+2x-a
x2
.令g(x)=-ax2+2x-a,由于函數(shù)f(x)=2lnx-a(x-
1
x
)有兩個極值點?g(x)=0在區(qū)間(0,+∞)上有兩個實數(shù)根.對a分類討論,解得即可.
(Ⅱ)由(Ⅰ)得0<x1
1
a
<x2,又
1
e
x1
<1,對a進行分類討論,即可求得f(x1)的取值范圍.
解答: 解:(Ⅰ)f(x)=2lnx-a(x-
1
x
)(x>0),f′(x)=
2
x
-a-
a
x2
=
-ax2+2x-a
x2

令g(x)=-ax2+2x-a,
∵函數(shù)f(x)=2lnx-a(x-
1
x
)有兩個極值點,則g(x)=0在區(qū)間(0,+∞)上有兩個實數(shù)根.
g′(x)=-2ax+2=-2a(x-
1
a
),
∴當a<0時,g′(x)>0,則函數(shù)g(x)在區(qū)間(0,+∞)單調(diào)遞增,因此g(x)=0在區(qū)間(0,+∞)上不可能有兩個實數(shù)根,應舍去.
當a>0時,令g′(x)=0,解得x=
1
a

令g′(x)>0,解得0<x<
1
a
,此時函數(shù)g(x)單調(diào)遞增;
令g′(x)<0,解得x>
1
a
,此時函數(shù)g(x)單調(diào)遞減.
∴當x=
1
a
時,函數(shù)g(x)取得極大值.
當x趨近于0與x趨近于+∞時,g(x)→-∞,
要使g(x)=0在區(qū)間(0,+∞)上有兩個實數(shù)根,則g(
1
a
)=
1
a
-a>0,解得0<a<1.
∴實數(shù)a的取值范圍是(0,1).
(Ⅱ)由(Ⅰ)得0<x1
1
a
<x2,又
1
e
x1
<1,
∴當0<a<1時,
1
e
x1
<1,∴-1<lnx1<0,
1
e
-e
x1-
1
x1
<0,0<-a(x1-
1
x1
)<a(e-
1
e

∴-2<f(x1)=2lnx1-a(x1-
1
x1
)<a(e-
1
e
),即-2<f(x1)<a(e-
1
e
).
當1≤a<e時,
1
e
x1
1
a
,∴,∴-1<lnx1<-lna,
1
e
-e
x1-
1
x1
1
a
-a,a2-1<-a(x1-
1
x1
)<a(e-
1
e
),
1
e
-e+a2-1<f(x1)=2lnx1-a(x1-
1
x1
)<a(e-
1
e
)+
1
a
-a,即
1-e2+(a2-1)e
e
<f(x1)<a(e-1)+
e-a2
ae

當a≥e時,由0<x1
1
a
<x2,又
1
e
x1
<1,可知x1不存在,故f(x1)不存在.
綜上所述:當0<a<1時,-2<f(x1)<a(e-
1
e
).
1≤a<e時,
1-e2+(a2-1)e
e
<f(x1)<a(e-1)+
e-a2
ae

a≥e時,f(x1)不存在.
點評:本題考查了利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值,考查了等價轉(zhuǎn)化方法,考查了推理能力和計算能力,屬于難題.
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已知M>0,N>0,log4M=log6N=log9(M+N),則
N
M
的值為(  )
A、
5
-1
2
B、
5
+1
2
C、
5
±1
2
D、
3
+1
2

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設(shè)函數(shù)f(x)=
x+2
x-1
, x≠1
   1,x=1
則f(
1
101
)+f(
2
101
)+f(
3
101
)+…+f(
201
101
)的值為( 。
A、199B、200
C、201D、202

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如圖,四邊形ABCD為矩形,PD⊥平面ABCD,PD∥QA,QA=AD=
1
2
PD=1.
(Ⅰ)證明:平面PQC⊥平面DCQ;
(Ⅱ)若CP與面DQC所成的角的正切值為
10
5
,求二面角Q-BC-D的大。

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已知橢圓的兩焦點F1、F2,點P在橢圓上,且PF1⊥PF2,已知|PF1|=3,|F1F2|=5,試建立適當?shù)淖鴺讼登蟪鰴E圓的標準方程.

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如圖,已知矩形ABCD中,AB=2,AD=1,AE⊥BD,CF⊥BD,沿對角線BD把△BCD折起,使二面角C-BD-A的大小為60°,則線段AC的長為
 

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

設(shè)函數(shù)f(x)=
x2-ax+5a(x≥2)
ax+5(x<2)
(a為常數(shù)),
(1)對任意x1,x2∈R,當 x1≠x2時,
f(x1)-f(x2)
x1-x2
>0,求實數(shù)a的取值范圍;
(2)在(1)的條件下,求g(x)=x2-4ax+3在區(qū)間[1,3]上的最小值h(a).

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知a>b>0,橢圓C1的方程為
x2
a2
+
y2
b2
=1,雙曲線C2的方程為
x2
a2
-
y2
b2
=1,C1與C2的離心率之積為
3
2
,則C2的漸近線方程為y=kx,則k=
 

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

下面命題中為假命題的是( 。
A、?x∈R,3x>0
B、?α,β∈R,使sin(α+β)=sinα+sinβ
C、“x>2”是“x2-3x+2>0”的充分不必要條件
D、命題“?x∈R,x2+1>3x”的否定是“?x∈R,x2+1<3x”

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