考點:利用導數(shù)研究函數(shù)的極值,利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性
專題:導數(shù)的綜合應用
分析:(Ⅰ)利用導數(shù)研究函數(shù)的極值,求導,f′(x)=
-a-
=
.令g(x)=-ax
2+2x-a,由于函數(shù)f(x)=2lnx-a(x-
)有兩個極值點?g(x)=0在區(qū)間(0,+∞)上有兩個實數(shù)根.對a分類討論,解得即可.
(Ⅱ)由(Ⅰ)得0<x
1<
<x
2,又
<x1<1,對a進行分類討論,即可求得f(x
1)的取值范圍.
解答:
解:(Ⅰ)f(x)=2lnx-a(x-
)(x>0),f′(x)=
-a-
=
.
令g(x)=-ax
2+2x-a,
∵函數(shù)f(x)=2lnx-a(x-
)有兩個極值點,則g(x)=0在區(qū)間(0,+∞)上有兩個實數(shù)根.
g′(x)=-2ax+2=-2a(x-
),
∴當a<0時,g′(x)>0,則函數(shù)g(x)在區(qū)間(0,+∞)單調(diào)遞增,因此g(x)=0在區(qū)間(0,+∞)上不可能有兩個實數(shù)根,應舍去.
當a>0時,令g′(x)=0,解得x=
.
令g′(x)>0,解得0<x<
,此時函數(shù)g(x)單調(diào)遞增;
令g′(x)<0,解得x>
,此時函數(shù)g(x)單調(diào)遞減.
∴當x=
時,函數(shù)g(x)取得極大值.
當x趨近于0與x趨近于+∞時,g(x)→-∞,
要使g(x)=0在區(qū)間(0,+∞)上有兩個實數(shù)根,則g(
)=
-a>0,解得0<a<1.
∴實數(shù)a的取值范圍是(0,1).
(Ⅱ)由(Ⅰ)得0<x
1<
<x
2,又
<x1<1,
∴當0<a<1時,
<x1<1,∴-1<lnx
1<0,
-e<
x1-<0,0<-a(
x1-)<a(e-
)
∴-2<f(x
1)=2lnx
1-a(x
1-
)<a(e-
),即-2<f(x
1)<a(e-
).
當1≤a<e時,
<x1<
,∴,∴-1<lnx
1<-lna,
-e<
x1-<
-a,a
2-1<-a(
x1-)<a(e-
),
∴
-e+a
2-1<f(x
1)=2lnx
1-a(x
1-
)<a(e-
)+
-a,即
<f(x
1)<a(e-1)+
.
當a≥e時,由0<x
1<
<x
2,又
<x1<1,可知x
1不存在,故f(x
1)不存在.
綜上所述:當0<a<1時,-2<f(x
1)<a(e-
).
1≤a<e時,
<f(x
1)<a(e-1)+
.
a≥e時,f(x
1)不存在.
點評:本題考查了利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值,考查了等價轉(zhuǎn)化方法,考查了推理能力和計算能力,屬于難題.