Question

3．已知a=4${∫}_{0}^{\frac{π}{2}}$cos（2x+$\frac{π}{6}$）dx，則二項(xiàng)式（x²+$\frac{a}{x}$）⁵的展開(kāi)式中x⁴的系數(shù)為40．

Answer 1

分析 a=2$sin（2x+\frac{π}{6}）{|}_{0}^{\frac{π}{2}}$=-2，則二項(xiàng)式（x²+$\frac{a}{x}$）⁵即$（{x}^{2}-\frac{2}{x}）^{5}$，利用其展開(kāi)式的通項(xiàng)公式即可得出．

解答 解：a=4${∫}_{0}^{\frac{π}{2}}$cos（2x+$\frac{π}{6}$）dx=2$sin（2x+\frac{π}{6}）{|}_{0}^{\frac{π}{2}}$=-2，
則二項(xiàng)式（x²+$\frac{a}{x}$）⁵即$（{x}^{2}-\frac{2}{x}）^{5}$的展開(kāi)式的通項(xiàng)公式：
T_r+1=${∁}_{5}^{r}（{x}^{2}）^{5-r}$$（-\frac{2}{x}）^{r}$=（-2）^r${∁}_{5}^{r}$x^10-3r，
令10-3r=4，解得r=2．
∴展開(kāi)式中x⁴的系數(shù)=$（-2）^{2}{∁}_{5}^{2}$=40．
故答案為：40．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．