Question

已知橢圓C₁和拋物線C₂有公共焦點F（1，0），C₁的中心和C₂的頂點都在坐標原點，直線l過點M（4，0）．
（1）寫出拋物線C₂的標準方程；
（2）若坐標原點O關(guān)于直線l的對稱點P在拋物線C₂上，直線l與橢圓C₁有公共點，求橢圓C₁C的長軸長的最小值．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用拋物線的標準方程中的p與焦點的關(guān)系即可得到即可得到拋物線的方程；
（2）設(shè)p（m，n），利用中點坐標公式可得OP中點為．由于O、P兩點關(guān)于直線y=k（x-4）對稱，利用軸對稱的性質(zhì)可得，即可解出m，n，代人拋物線的方程可得k的值，再把直線l的方程y=k（x-4）與橢圓的方程聯(lián)立消去一個未知數(shù)，得到關(guān)于另一個未知數(shù)的一元二次方程，由于有公共點，可得△≥0，即可得到a的取值范圍，進而得到橢圓長軸長的最小值．
解答：解：（1）由題意，拋物線C₂的焦點F（1，0），則，的p=2．
所以方程為：y²=4x．
（2）設(shè)p（m，n），
則OP中點為，
因為O、P兩點關(guān)于直線
y=k（x-4）對稱，
所以
即，解之得，
將其代入拋物線方程，得：，所以k²=1
聯(lián)立 ，消去y，得：（b²+a²）x²-8a²x+16a²-a²b²=0，
由直線l與橢圓有公共點，∴△=（-8a²）²-4（b²+a²）（16a²-a²b²）≥0，得a²+b²≥16，
注意到b²=a²-1，即2a²≥17，解得，
因此，橢圓C₁長軸長的最小值為．
點評：題綜合考查了橢圓與拋物線的標準方程及其性質(zhì)、直線與圓錐曲線相交問題轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立得到根與系數(shù)的關(guān)系、斜率的計算公式、中點坐標公式、軸對稱等基礎(chǔ)知識，需要較強的推理能力和計算能力、分析問題和解決問題的能力．