Question

已知函數(shù)f（x）=

1

3

x³+

a

2

x²+（a+b）x+c（a，b，c∈R）的兩個極值點(diǎn)分別為x₁，x₂，且x₁∈（0，1），x₂∈（1，+∞），z=2a-b，則z的取值范圍是（　　）

• A、（-∞，3]
• B、（-∞，-3）
• C、[-3，+∞）
• D、（-3，+∞）

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值

專題：導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用,不等式的解法及應(yīng)用

分析：對函數(shù)求導(dǎo)，由已知結(jié)合二次函數(shù)的圖象可得

f′(0)=a+b＞0 f′(1)=2a+b+1＜0

，代入可得關(guān)于a，b的二元一次不等式組，利用線性規(guī)劃的知識，畫出平面區(qū)域，在可行域內(nèi)找到目標(biāo)函數(shù)的取值范圍．

解答： 解：∵函數(shù)f（x）=

1

3

x³+

a

2

x²+（a+b）x+c，
∴f′（x）=x²+ax+a+b
由題意可得f′（x）=0的兩根x₁，x₂，
且x₁∈（0，1），x₂∈（1，+∞），
∴

f′(0)=a+b＞0 f′(1)=2a+b+1＜0

，
滿足條件的可行域如下圖所示：

由圖可知：當(dāng)直線b=2a-Z過A（-1，1）時，Z取得最大值-3，Z無最小值，但由于不包括邊界，
∴Z＜-3，
故z的取值范圍是（-∞，-3），
故選：B

點(diǎn)評：本題以函數(shù)的極值為切入點(diǎn)，借助于二次函數(shù)的圖象及二次方程的實(shí)根分布把問題轉(zhuǎn)化為平面區(qū)域內(nèi)求目標(biāo)函數(shù)的最值問題，是一道綜合性較好的試題，體會“轉(zhuǎn)化思想”在解題中的應(yīng)用．