是否存在常數(shù)a,b,c使得等式1•22+2•32+…+n(n+1)2=數(shù)學(xué)公式(an2+bn+c)對(duì)于一切正整數(shù)n都成立?并證明你的結(jié)論.

證明:假設(shè)存在符合題意的常數(shù)a,b,c,
在等式1•22+2•32++n(n+1)2
=(an2+bn+c)中,
令n=1,得4=(a+b+c)①
令n=2,得22=(4a+2b+c)②
令n=3,得70=9a+3b+c③
由①②③解得a=3,b=11,c=10,
于是,對(duì)于n=1,2,3都有
1•22+2•32++n(n+1)2=(3n2+11n+10)(*)成立.
下面用數(shù)學(xué)歸納法證明:對(duì)于一切正整數(shù)n,(*)式都成立.
(1)當(dāng)n=1時(shí),由上述知,(*)成立.
(2)假設(shè)n=k(k≥1)時(shí),(*)成立,
即1•22+2•32++k(k+1)2
=(3k2+11k+10),
那么當(dāng)n=k+1時(shí),
1•22+2•32++k(k+1)2+(k+1)(k+2)2
=(3k2+11k+10)+(k+1)(k+2)2
=(3k2+5k+12k+24)
=[3(k+1)2+11(k+1)+10],
由此可知,當(dāng)n=k+1時(shí),(*)式也成立.
綜上所述,當(dāng)a=3,b=11,c=10時(shí)題設(shè)的等式對(duì)于一切正整數(shù)n都成立.
分析:先假設(shè)存在符合題意的常數(shù)a,b,c,再令n=1,n=2,n=3構(gòu)造三個(gè)方程求出a,b,c,再用用數(shù)學(xué)歸納法證明成立,證明時(shí)先證:(1)當(dāng)n=1時(shí)成立.(2)再假設(shè)n=k(k≥1)時(shí),成立,即1•22+2•32++k(k+1)2=(3k2+11k+10),再遞推到n=k+1時(shí),成立即可.
點(diǎn)評(píng):本題主要考查研究存在性問題和數(shù)學(xué)歸納法,對(duì)存在性問題先假設(shè)存在,再證明是否符合條件,數(shù)學(xué)歸納法的關(guān)鍵是遞推環(huán)節(jié),要符合假設(shè)的模型才能成立.
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是否存在常數(shù)a,b使等式1-n+2-(n-1)+3-(n-2)+…+n-1=an(n+b)(n+2)對(duì)于任意的n∈N+總成立?若存在,求出來并證明;若不存在,說明理由.

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3
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]

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(Ⅰ)求數(shù)列{an}與{bn}的通項(xiàng)公式;
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n+1n
2an
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式
(2)設(shè)bn=(An2+Bn+C)•2n,是否存在常數(shù)A、B、C,使對(duì)一切n∈N*,均有an=bn+1-bn成立?若存在,求出常數(shù)A、B、C的值,若不存在,說明理由
(3)求證:a1+a2+…+an≤(n2-2n+2)•2n,( n∈N*

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