(14分)在正四棱柱中,E,F分別是的中點(diǎn),G為上任一點(diǎn),EC與底面ABCD所成角的正切值是4.
(Ⅰ)求證AGEF;
(Ⅱ)確定點(diǎn)G的位置,使AG面CEF,并說明理由;
(Ⅲ)求二面角的余弦值。
(1)略(2)CG=CC1(3)
是正四棱柱
∴ABCD是正方形,設(shè)其邊長為2a,ÐECD是EC與底面所成的角。而ÐECD=ÐCEC1, ∴CC1=4EC1=4a.……………1分
以A為原點(diǎn),AB、AD、AA1所在的直線分別為x軸,y軸,z軸,建立如圖所示的直角坐標(biāo)系。
則A(0,0,0),B(2a,0,0),C(2a,2a,0),D(0,2a,0),
A1(0,0,4a),B1(2a,0,4a),C1(2a,2a,4a),D1(0,2a,4a),
E(a,2a,4a),F(2a,a,4a),設(shè)G(2a,2a,b)(0<b<4a)………………3分
(Ⅰ)=(2a,2a,b),=(a,-a,0),=2a2-2a2+0=0,
∴AGEF  ……………………………………………………6分
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,使AG面CEF,只需AGCE,
只需=(2a,2a,b)×(-a,0,4a)=-2a2+4ab=0,
∴b=a,即CG=CC1時(shí),AG面CEF!10分
(Ⅲ)由(Ⅱ)知,當(dāng)G(2a,2a, a)時(shí),是平面CEF的一個(gè)法向量,
由題意可得,是平面CEC1的一個(gè)法向量,
設(shè)二面角的大小為q,
則cosq===,
二面角的余弦值為.   …………………………14分
(運(yùn)用綜合法相應(yīng)給分)
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:單選題

設(shè)地球的半徑為R,在北緯圈上有兩個(gè)點(diǎn)A、B,A在西經(jīng),B在東經(jīng),則A、B兩點(diǎn)間的球面距離為(   )
A.   B. C. D.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題



(本小題滿分12分)一個(gè)四棱錐的直觀圖和三視圖如圖所示:


 

 
(1) 求證:;
(2) 若M為的中點(diǎn) ,證明:直線∥平面
(3) 若,求三棱錐A-PDC的體積.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:填空題

把邊長為1的正方形ABCD沿對(duì)角線BD折起形成三棱錐C-ABD的主視圖與俯視圖如圖所示,則左視圖的面積為        。

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:填空題

(已知△ABC所在平面外一點(diǎn)P到△ABC三頂點(diǎn)的距離都相等,則P在平面△ABC內(nèi)的射影是△ABC    

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:單選題

下方左圖表示一個(gè)由相同小立方塊搭成的幾何體的俯視圖,小正方形中的數(shù)字表示該位置上小立方塊的個(gè)數(shù),則該幾何體的正視圖為

A              B             C            D

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:單選題

在正方體中,點(diǎn)的中點(diǎn),則二面角的正切值為
(    )
A.B.3C.D.2

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:填空題

一空間幾何體的三視圖(單位:)如圖所示,則此幾何體的表面積是       

圖3

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:填空題

將一個(gè)半圓面圍成圓錐的側(cè)面,則其任意兩條母線間夾角的最大值為_________.

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案