Question

15．已知函數f（x）=|x+1|+2|x-1|-a．
（Ⅰ）若a=1，求不等式f（x）＞x+2的解集；
（Ⅱ）若不等式f（x）≤a（x+2）的解集為非空集合，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）把要解的不等式等價轉化為與之等價的三個不等式組，求出每個不等式組的解集，再取并集，即得所求．
（Ⅱ）由題意可得|x+1|+2|x-1|≤a（x+3）能成立．設g（x）=|x+1|+2|x-1|，由題意可得f（x）的圖象有一部分位于直線線y=a（x+3）的下方．求得PA、BC的斜率，數形結合求得a的范圍．

解答 解：（Ⅰ）當a=1時，f（x）=|x+1|+2|x-1|-1，
不等式f（x）＞x+2，即|x+1|+2|x-1|＞x+3．
∴$\left\{\begin{array}{l}{x＜-1}\\{1-3x＞x+3}\end{array}\right.$①或 $\left\{\begin{array}{l}{-1≤x＜1}\\{3-x＞x+3}\end{array}\right.$②或 $\left\{\begin{array}{l}{x≥1}\\{3x-1＞x+3}\end{array}\right.$③．
解①求得x＜-1，解②求得-1≤x＜0，解③求得x＞2，
綜上可得，原不等式的解集為{x|x＜0，或x＞2}．
（Ⅱ）由題意可得f（x）≤a（x+2）有解，化簡f（x）≤a（x+2）可得|x+1|+2|x-1|≤a（x+3）．
設g（x）=|x+1|+2|x-1|=$\left\{\begin{array}{l}{1-3x，x＜-1}\\{3-x，-1≤x＜1}\\{3x-1，x≥1}\end{array}\right.$，
由于直線y=a（x+3）經過定點P（-3，0），如圖：

由題意可得f（x）的圖象有一部分位于直線線y=a（x+3）的下方．
由于PA的斜率K_PA=$\frac{2-0}{1+3}$=$\frac{1}{2}$，直線BC的斜率 K_BC=-3，
故a的范圍為（-∞，-3）∪（$\frac{1}{2}$，+∞）．

點評 本題主要考查絕對值不等式的解法，函數的能成立問題，體現了轉化、分類討論、數形結合的數學思想，屬于中檔題．