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15.已知函數(shù)f(x)=|x+1|+2|x-1|-a.
(Ⅰ)若a=1,求不等式f(x)>x+2的解集;
(Ⅱ)若不等式f(x)≤a(x+2)的解集為非空集合,求a的取值范圍.

分析 (Ⅰ)把要解的不等式等價(jià)轉(zhuǎn)化為與之等價(jià)的三個(gè)不等式組,求出每個(gè)不等式組的解集,再取并集,即得所求.
(Ⅱ)由題意可得|x+1|+2|x-1|≤a(x+3)能成立.設(shè)g(x)=|x+1|+2|x-1|,由題意可得f(x)的圖象有一部分位于直線線y=a(x+3)的下方.求得PA、BC的斜率,數(shù)形結(jié)合求得a的范圍.

解答 解:(Ⅰ)當(dāng)a=1時(shí),f(x)=|x+1|+2|x-1|-1,
不等式f(x)>x+2,即|x+1|+2|x-1|>x+3.
{x113xx+3①或 {1x13xx+3②或 {x13x1x+3③.
解①求得x<-1,解②求得-1≤x<0,解③求得x>2,
綜上可得,原不等式的解集為{x|x<0,或x>2}.
(Ⅱ)由題意可得f(x)≤a(x+2)有解,化簡(jiǎn)f(x)≤a(x+2)可得|x+1|+2|x-1|≤a(x+3).
設(shè)g(x)=|x+1|+2|x-1|={13xx13x1x13x1x1
由于直線y=a(x+3)經(jīng)過定點(diǎn)P(-3,0),如圖:

由題意可得f(x)的圖象有一部分位于直線線y=a(x+3)的下方.
由于PA的斜率KPA=201+3=12,直線BC的斜率 KBC=-3,
故a的范圍為(-∞,-3)∪(12,+∞).

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查絕對(duì)值不等式的解法,函數(shù)的能成立問題,體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化、分類討論、數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想,屬于中檔題.

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