Question

如圖，正方體ABCD—A₁B₁C₁D₁中，E為AB中點(diǎn)，F(xiàn)為正方形BCC₁B₁的中心.

（1）求直線EF與平面ABCD所成角的正切值；
（2）求異面直線A₁C與EF所成角的余弦值．

Answer 1

(1) (2)

試題分析：解法一：（1）取BC中點(diǎn)H，連結(jié)FH，EH，設(shè)正方體棱長為2．
∵F為BCC₁B₁中心，E為AB中點(diǎn)．
∴FH⊥平面ABCD，F(xiàn)H=1，EH=．
∴∠FEH為直線EF與平面ABCD所成角，且FH⊥EH．
∴tan∠FEH===．……6分
（2）取A₁C中點(diǎn)O，連接OF，OA，則OF∥AE，且OF=AE．
∴四邊形AEFO為平行四邊形．∴AO∥EF．
∴∠AOA₁為異面直線A₁C與EF所成角．
∵A₁A=2，AO=A₁O=．
∴△AOA₁中，由余弦定理得cos∠A₁OA=．……12分
解法二：設(shè)正方體棱長為2，以B為原點(diǎn)，BC為x軸，BA為y軸，BB₁為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系．則B（0，0，0），B₁（0，0，2），E（0，1，0），F(xiàn)（1，0，1），
C（2，0，0），A₁（0，2，2）．
（1）=（1，－1，1），=（0，0，2），且為平面ABCD的法向量．
∴cos<，>=．
設(shè)直線EF與平面ABCD所成角大小為θ．
∴sinθ=，從而tanθ=．……6分
（2）∵=（2，－2，－2）．∴cos<，>=．
∴異面直線A₁C與EF所成角的余弦值為．……12分
點(diǎn)評(píng)：解決的關(guān)鍵是根據(jù)異面直線所成角的定義， 以及線面角的概念，結(jié)合向量法來得到，屬于基礎(chǔ)題。