Question

已知雙曲線C：

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的離心率為

3

，右焦點到漸近線的距離為

2

．
（1）求雙曲線C的方程；
（2）若直線x-y+m=0與雙曲線C交于不同的兩點A，B，且線段AB的中點在圓x²+y²=5上，求m的值及弦|AB|的長．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的關系,雙曲線的標準方程

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）由右焦點F₂（c，0）到漸近線y=

b

a

x的距離為

2

，利用點到直線的距離公式可得

bc

a2+b2

=

2

，又

c

a

=

3

，c²=a²+b²．即可解得；
（2）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），線段AB的中點為M（x₀，y₀）．把直線方程與雙曲線的方程聯(lián)立可得根與系數(shù)的關系，再利用中點坐標公式可得線段AB的中點M，代人圓的方程即可解出m，再利用弦長公式即可得出．

解答： 解：（1）∵右焦點F₂（c，0）到漸近線y=

b

a

x的距離為

2

，
∴

bc

a2+b2

=

2

，又

c

a

=

3

，c²=a²+b²．
解得b=

2

，a=1，c=

3

．
∴雙曲線C的方程為x2-

y2

2

=1；
（2）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），線段AB的中點為M（x₀，y₀）．
由

x2- y2 2 =1 x-y+m=0

可得x²-2mx-m²-2=0，△＞0．
∴x₁+x₂=2m，x₁x₂=-m²-2．
∴x0=

x1+x2

2

=m，y₀=x₀+m=2m．
∵線段AB的中點M在圓x²+y²=5上，
∴m²+（2m）²=5，解得m=±1．
∴|AB|=

(1+12)[(x1+x2)2-4x1x2]

=

2[(2m)2-4(-m2-2)]

=4

2

．

點評：本題考查了雙曲線的標準方程、直線方程與雙曲線的位置關系轉化為方程聯(lián)立得到根與系數(shù)的關系、中點坐標公式、弦長公式、點到直線的距離公式等基礎知識與基本技能方法，考查了推理能力和計算能力，屬于難題．