Question

已知a₁=2,點(diǎn)(a_n,a_n+1)在函數(shù)f(x)=x²+2x的圖象上，其中n=1,2,3,….

（Ⅰ）證明數(shù)列{lg(1+a_n)}是等比數(shù)列；

（Ⅱ）設(shè)T_n=(1+a₁)(1+a₂)…(1+a_n),求T_n及數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)；

（Ⅲ）記b_n=+,求數(shù)列{b_n}的前幾項(xiàng)和S_n，并證明S_n+=1.

Answer 1

解：(Ⅰ)由已知a_n+1=+2a_n,

∴a_n+1+1=(a_n+1)².∵a₁=2,∴a_n+1=＞1,兩邊取對(duì)數(shù)得：lg(1+a_n+1)=2lg(a_n+1),即：=2.

∴{lg(1+a_n}是公比為2的等比數(shù)列.

(Ⅱ)由（Ⅰ)知，lg(1+a_n)=2^n-1·lg(1+a₁)=2^n-1·lg³=,

∴1+a_n=.(*)

∴T_n=(1+a₁)(1+a₂)…(1+a_n)=···…·=

=.由(*)式得  a_n=-1.

(Ⅲ)∵a_n+1=+2a_n=a_n(a_n+2),

∴=(-),

∴=-,又b_n=+,

∴b_n=+-=2(-）.

∴S_n=b₁+b₂+…+b_n

=2(-+-+…+-)

=2(-).

∵a_n=-1,a₁=2,a_n+1=-1,

∴S_n=1-,又T_n=,

∴S_n+=1.