Question

如圖，圖（1）是一個(gè)正方體的表面展開(kāi)圖，MN和PQ是兩條面對(duì)角線．
（1）請(qǐng)?jiān)趫D（2）的正方體中畫(huà)出MN、PQ；并求此時(shí)MN與PQ所成角的大��；
（2）求四面體MNPQ的體積與正方體的體積之比．（說(shuō)明：求角與體積時(shí)，若需畫(huà)輔助圖，請(qǐng)分別畫(huà)在圖（3）、（4）中）

Answer 1

分析：（1）根據(jù)正方體的表面展開(kāi)圖，畫(huà)出MN、PQ，如圖（2），在圖（3）中，連接NA，AM，則AN∥PQ，∠MNA（或其補(bǔ)角）為MN與PQ所成角．
（2）V_{四面體MNPQ}=V _N-MPQ，其體積易求出，再與正方體的體積作比即可．

解答：解：
（1）如圖所畫(huà)．在圖（3）中，連接NA，AM，則AN∥PQ，∠MNA（或其補(bǔ)角）為MN與PQ所成角，∵△MNA是正三角形，，∠MNA=60°，所以MN與PQ所成角的大小是60°．
 （2）設(shè)正方體棱長(zhǎng)為1，V_{四面體MNPQ}=V _N-MPQ=

1

3

S_△PMQ×NP=

1

3

×

1

2

×1=

1

6

，四面體MNPQ的體積與正方體的體積之比為1：6．

點(diǎn)評(píng)：本題考查正方體的表面展開(kāi)圖 與直觀圖，考查異面直線夾角、體積的計(jì)算．考查空間想象、計(jì)算、轉(zhuǎn)化能力．