Question

數(shù)列{a_n}的通項公式為a_n=3n+2，將數(shù)列{a_n}中的第2,4,8,…,2ⁿ項依次取出，按原來的順序組成一個新數(shù)列{b_n}，記其前n項和為S_n,T_n=n(9+a_n)，當n≥4時，證明S_n＞T_n.

Answer 1

思路分析：要證S_n＞T_n，只需證3×2ⁿ⁺¹+2n-6＞3n²+11n，即證2ⁿ⁺¹＞n²+3n+2.這就證明了原不等式的等價不等式，從而將命題簡化.

證明：∵a_n=3n+2，

∴=3×2ⁿ+2，

∴S_n=a₂+a₄+a₈+…+a=3(2+4+8+…+2ⁿ)+2n=3×2ⁿ⁺¹+2n-6.

而T_n=n(9+a_n)=3n²+11n.

要證S_n＞T_n，只需證3×2ⁿ⁺¹+2n-6＞3n²+11n，

即證2ⁿ⁺¹＞n²+3n+2.

用數(shù)學歸納法來證明：

(Ⅰ)當n=4時，S₄=98,T₄=92,S₄＞T₄成立.

(Ⅱ)假設(shè)當n=k(k≥4)時，結(jié)論成立，就是2^k+1＞k²+3k+2，那么

2^k+2-［(k+1)²+3(k+1)+2］＞2(k²+3k+2)-(k²+5k+6)

=k²+k-2=(k+2)(k-1).

∵k≥4,

∴(k+2)(k-1)＞0.

∴2^k+2＞(k+1)²+3(k+1)+2.

這就是說，當n=k+1時，S_n＞T_n也成立.

由(Ⅰ)(Ⅱ)知，對n≥4,S_n＞T_n都成立.

方法歸納

    本題用數(shù)學歸納法證明2ⁿ⁺¹＞n²+3n+2，第二步采用的是作差比較法：作差——利用歸納假設(shè)——變形（因式分解）——定號.這比通常的“作差——變形——定號”多了利用歸納假設(shè)這一步，這是因為歸納假設(shè)是用數(shù)學歸納法證明命題時所必需的.

巧解提示

    也可不用數(shù)學歸納法來證明2ⁿ⁺¹＞n²+3n+2(n≥4)，而是利用二項展開式和放縮法直接證得.

當n≥4時，

2ⁿ⁺¹=2·2ⁿ=2(1+1)ⁿ

=2()

≥2()

=n²+3n+4

＞n²+3n+2.