Question

6．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)A（-2，0），B（2，0），動(dòng)點(diǎn)C滿足條件：△ABC的周長(zhǎng)為10，記動(dòng)點(diǎn)C的軌跡為曲線M．
（1）求曲線M的方程；
（2）若直線l與曲線M相交于E、F兩點(diǎn)，若以EF為直徑的圓過(guò)點(diǎn)D（3，0），求證：直線l恒過(guò)定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)橢圓的定義可知曲線M為橢圓，利用待定系數(shù)法求出橢圓方程；
（2）對(duì)直線l是否有斜率進(jìn)行討論，設(shè)出直線方程，與橢圓方程聯(lián)立，利用DE⊥DF得出E，F(xiàn)的坐標(biāo)的關(guān)系，化簡(jiǎn)即可得出直線的定點(diǎn)坐標(biāo)．

解答 解：（1）∵△ABC的周長(zhǎng)為10，AB=4，
∴CA+CB=6，
∴動(dòng)點(diǎn)C的軌跡為以A，B為焦點(diǎn)的橢圓，
設(shè)曲線M的方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1$（a＞b＞0），則$\left\{\begin{array}{l}{2a=6}\\{{a}^{2}-^{2}=4}\end{array}\right.$，
解得a=3，b=$\sqrt{5}$．
∴曲線M的方程為$\frac{{x}^{2}}{9}+\frac{{y}^{2}}{5}=1$．
（2）當(dāng)直線l無(wú)斜率時(shí)，設(shè)直線方程為x=p（-3＜p＜3）．
把x=p代入橢圓方程得$\frac{{p}^{2}}{9}+\frac{{y}^{2}}{5}=1$，∴y=±$\frac{\sqrt{45-5{p}^{2}}}{3}$，
∴以EF為直徑的圓的方程為（x-p）²+y²=$\frac{45-5{p}^{2}}{9}$，
把D（3，0）代入圓的方程得p=3（舍）或p=$\frac{6}{7}$．
當(dāng)直線有斜率時(shí)，設(shè)直線l的方程為y=mx+n，
聯(lián)立方程組$\left\{\begin{array}{l}{y=mx+n}\\{\frac{{x}^{2}}{9}+\frac{{y}^{2}}{5}=1}\end{array}\right.$，消元得：（9m²+5）x²+18mnx+9n²-45=0，
設(shè)E（x₁，y₁），F(xiàn)（x₂，y₂），則x₁+x₂=-$\frac{18mn}{9{m}^{2}+5}$，x₁x₂=$\frac{9{n}^{2}-45}{9{m}^{2}+5}$．
∴y₁y₂=（mx₁+n）（mx₂+n）=m²x₁x₂+mn（x₁+x₂）+n²，
∵以EF為直徑的圓過(guò)點(diǎn)D（3，0），∴DE⊥DF．
∵k_DE=$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}-3}$，k_DF=$\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}-3}$，∴$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}-3}$•$\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}-3}$=-1，即y₁y₂+x₁x₂-3（x₁+x₂）+9=0，
∴（m²+1）•$\frac{9{n}^{2}-45}{9{m}^{2}+5}$-（mn-3）•$\frac{18mn}{9{m}^{2}+5}$+n²+9=0，
∴18m²+27mn+7n²=0，即18（$\frac{m}{n}$）²+27•$\frac{m}{n}$+7=0，解得$\frac{m}{n}$=-$\frac{1}{3}$或$\frac{m}{n}$=-$\frac{7}{6}$．
若$\frac{m}{n}$=-$\frac{1}{3}$，即n=-3m，則直線l的方程為y=mx-3m，故直線l過(guò)定點(diǎn)（3，0）．
若$\frac{m}{n}=-\frac{7}{6}$，即n=-$\frac{6}{7}$m，則直線l的方程為y=mx-$\frac{6}{7}$m，故直線l過(guò)定點(diǎn)（$\frac{6}{7}$，0）．
綜上，直線l經(jīng)過(guò)定點(diǎn)（$\frac{6}{7}$，0）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了軌跡方程的求法，直線與橢圓的位置關(guān)系，屬于中檔題．