Question

祖國(guó)大陸允許臺(tái)灣農(nóng)民到大陸創(chuàng)業(yè)以來(lái)，在11個(gè)省區(qū)設(shè)立了海峽兩岸農(nóng)業(yè)合作試驗(yàn)區(qū)和臺(tái)灣農(nóng)民創(chuàng)業(yè)園，臺(tái)灣農(nóng)民在那里申辦個(gè)體工商戶可以享受“綠色通道”的申請(qǐng)、受理、審批一站式服務(wù)，某臺(tái)商在第一年初到大陸創(chuàng)辦一座120萬(wàn)元的蔬菜加工廠M，M的價(jià)值在使用過(guò)程中逐年減少，從第二年到第六年，每年初M的價(jià)值比上年初減少10萬(wàn)元；從第七年開(kāi)始，每年初M的價(jià)值為年初的75%．
（1）求第n年初M的價(jià)值a_n的表達(dá)式；
（2）設(shè)A_n=，若A_n大于80萬(wàn)元，則M繼續(xù)使用，否則須在第n年初對(duì)M更新，證明：必須在第九年初對(duì)M更新．

Answer 1

解：（1）當(dāng)n≤6時(shí)，數(shù)列{a_n}是首項(xiàng)為120，公差為﹣10的等差數(shù)列，
故a_n=120﹣10（n﹣1）=130﹣10n，
當(dāng)n≥7時(shí)，數(shù)列{a_n}從a₆開(kāi)始的項(xiàng)構(gòu)成一個(gè)以a₆=130﹣60=70為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列，故，
∴第n年初M的價(jià)值a_n=．
（2）設(shè)S_n表示數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和，
由等差數(shù)列和等比數(shù)列的求和公式，得：
當(dāng)1≤n≤6時(shí)，S_n=120n﹣5n（n﹣1），=120﹣5（n﹣1）=125﹣5n，
當(dāng)n≥7時(shí)，由于S₆=570，
故S_n=570+（a₇+a₈+…+a_n）
=570+70×
=780﹣210×，=，
∵{a_n}是遞減數(shù)列，∴{A_n}是遞減數(shù)列，
∵≈82.734＞80，≈76.823＜80，
所以必須在第九年初對(duì)M更新．