Question

7．如圖所示，正方形上連接著等腰直角三角形，等腰直角三角形邊上再連接正方形…，如此繼續(xù)，若共得到1023個(gè)正方形，設(shè)初始正方形的邊長(zhǎng)為$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，則最小正方形的邊長(zhǎng)為（　�。�

• A． $\frac{1}{64}$
• B． $\frac{1}{16}$
• C． $\frac{1}{32}$
• D． $\frac{1}{8}$

Answer 1

分析 正方形的邊長(zhǎng)構(gòu)成以$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$為首項(xiàng)，以$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$為公比的等比數(shù)列，利用共得到1023個(gè)正方形，借助于求和公式，可求得正方形邊長(zhǎng)變化的次數(shù)，從而利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，即可求最小正方形的邊長(zhǎng)．

解答 解：由題意，正方形的邊長(zhǎng)構(gòu)成以$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$為首項(xiàng)，
以$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$為公比的等比數(shù)列，現(xiàn)已知共得到1023個(gè)正方形，則有
1+2+…+2^n-1=1023，∴n=10
∴最小正方形的邊長(zhǎng)為$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$×（$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$）⁹=$\frac{1}{32}$．
故選C．

點(diǎn)評(píng) 本題以圖形為載體，考查等比數(shù)列的求和公式及通項(xiàng)，關(guān)鍵是的出等比數(shù)列模型，正確利用相應(yīng)的公式．