Question

下列命題中：①函數f(x)=sinx+

2

sinx

(x∈(0，π))的最小值是2

2

；
②在△ABC中，若sin2A=sin2B，則△ABC是等腰或直角三角形；
③如果正實數a，b，c滿足a+b＞c，則

a

1+a

+

b

1+b

＞

c

1+c

；
④如果y=f（x）是可導函數，則f′（x₀）=0是函數y=f（x）在x=x₀處取到極值的必要不充分條件．
其中正確的命題是

 

．

Answer 1

考點：命題的真假判斷與應用

專題：

分析：①由x的范圍，求出sinx的范圍，然后利用函數單調性求f（x）的最小值，則命題①得到判斷；
②直接由角的三角函數值相等得到角的關系，則三角形的形狀得到判斷；
③利用放縮法直接證明不等式得答案；
④由極值點的導數等于0，導數為0的點不一定是極值點判斷命題④．

解答： 解：對于①，∵x∈（0，π），
∴0＜sinx≤1，令t=sinx（0＜t≤），
則f(t)=t+

2

t

在（0，1]上是減函數，
∴最小值為3．命題①錯誤；
對于②，在△ABC中，若sin2A=sin2B，
則2A=2B或2A+2B=π，即A=B或A+B=

π

2

．
∴△ABC是等腰或直角三角形．命題②正確；
對于③，如果正實數a，b，c滿足a+b＞c，
則

a

1+a

+

b

1+b

＞

a

1+a+b

+

b

1+a+b

=

a+b

1+a+b

，
∵a+b＞c，
∴a+b+ac+bc＞c+ac+bc，即（a+b）（1+c）＞c（1+a+b），
∴

a+b

1+a+b

＞

c

1+c

．
則

a

1+a

+

b

1+b

＞

c

1+c

．命題③正確；
對于④，∵可導函數的極值點處的導數等于0，但導數為0的點不一定是極值點，
∴f′（x₀）=0是函數y=f（x）在x=x₀處取到極值的必要不充分條件，
命題④正確．
∴正確的命題是②③④．
故答案為：②③④．

點評：本題考查命題的真假判斷與應用，考查了利用函數的單調性求函數最值，訓練了不等式的證明方法，判斷④的關鍵是明確導數為0的點不一定是極值點，是中檔題．