Question

如果函數(shù)f（x）滿足：af（x）+f（

1

x

）=ax（x≠0，a為常數(shù)且a≠±1），則f（x）=

 

．

Answer 1

考點：函數(shù)解析式的求解及常用方法

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：本題需要建立另一個關(guān)于f（x），f(

1

x

)的等式，這兩個等式聯(lián)立解出f（x）即可．所以令

1

x

=t，x=

1

t

，帶入af（x）+f(

1

x

)=ax    ①，便可得到f(x)+af(

1

x

)=

a

x

       ②，①②兩式聯(lián)立即可求出f（x）．

解答： 解：令

1

x

=t，x=

1

t

，∴帶入af（x）+f（

1

x

）=ax     ①得：
af(

1

t

)+f(t)=

a

t

，∴f(x)+af(

1

x

)=

a

x

      ②；
①②聯(lián)立可得：f（x）=

a2x2-a

(a2-1)x

．
故答案為：

a2x2-a

(a2-1)x

．

點評：考查函數(shù)解析式的概念，以及通過換元求得另一個關(guān)于f（x）的式子來求函數(shù)解析式的方法．