Question

（22）如圖，F(xiàn)為雙曲線C：（a>0,b>0）的右焦點，P為雙曲線C右支上一點，且位于x軸上方，M為左準線上一點，O為坐標原點。已知四邊形OFPM為平行四邊形，|PF|=|OF|。

（Ⅰ）寫出雙曲線C的離心率e與的關系式：

（Ⅱ）寫=1時，經(jīng)過焦點F且平行于OP的直線交雙曲線于A、B兩點，若|AB|=12，求此時的雙曲線方程。

                               

Answer 1

本小題主要考查直線方程、雙曲線的幾何性質(zhì)等基本知識，考查綜合運用數(shù)學知識解決問題的能力及推理能力。

（Ⅰ）解法1：設為PM與雙曲線右準線的交點，F(xiàn)（c,o），則

                         

∵                                             

                     

∴                                                 

即                                                 

解法2：設為PM與雙曲線右準線的交點，N為左準線與x軸的交點，

由于在雙曲線右支上，則

                          ①

                         ②

由|PF|=得

                       ③                        

將①、②代入③得      

再將

       

化簡，得

                                   ④                           

由題意，點P位于雙曲線右支上，從而

|PM|>|M|.

于是由④式得

        

（II）解：當時，由解得e=2，

從而c=2a,b=

由此得雙曲線的方程是

       

下面確定a的值。

解法1：

設雙曲線左準線與x軸的交點為N，P點的坐標為（），則

        

        

由于P（）在雙曲線的右支上，且位于x軸上方，因而

所以直線OP的斜率為

設過焦點F且平行于OP的直線與雙曲線的交點為、，則直線AB的斜率為直線AB的方程為

      

將其代入雙曲線方程整理得

       

∵     

∴

  

  

由|AB|=12得a=1，于是，所求雙曲線的方程為

       

解法2：由條件知□OFPM為菱形，其對角線OP與FM互相垂直平分，其交點Q為OP的中點。

設OP的方程為y=kx(k>o),則FM的方程為

                                

由解得Q點的坐標為（），

所以P點的坐標為（）.

將P點的坐標代入雙曲線方程，化簡得

       

解得

設過焦點F且平行于OP的直線與雙曲線的交點為、，則直線AB的斜率為，直線AB的方程為

將其代入雙曲線方程，整理得

        

∵     

∴

     

由|AB|=12得a=1.于是，所求雙曲線的方程為