Question

函數(shù)f（x）=x²-2x-3，定義數(shù)列{ x_n}如下：x₁=2，x_n+1是過兩點(diǎn)P（4，5），Q_n（ x_n，f（ x_n））的直線PQ_n與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)．
（Ⅰ）證明：2≤x_n＜x_n+1＜3；
（Ⅱ）求數(shù)列{ x_n}的通項(xiàng)公式．

Answer 1

分析：（Ⅰ）用數(shù)學(xué)歸納法證明：①n=1時(shí)，x₁=2，直線PQ₁的方程為y-5=

f(2)-5

2-4

(x-4)，當(dāng)y=0時(shí)，可得x2=

11

4

；②假設(shè)n=k時(shí)，結(jié)論成立，即2≤x_k＜x_k+1＜3，直線PQ_k+1的方程為y-5=

f(xk+1)-5

xk+1-4

(x-4)，當(dāng)y=0時(shí)，可得xk+2=

3+4xk+1

2+xk+1

，根據(jù)歸納假設(shè)2≤x_k＜x_k+1＜3，可以證明2≤x_k+1＜x_k+2＜3，從而結(jié)論成立．
（Ⅱ）由（Ⅰ），可得xn+1=

3+4xn

2+xn

，構(gòu)造b_n=x_n-3，可得{

1

bn

+

1

4

}是以-

3

4

為首項(xiàng)，5為公比的等比數(shù)列，由此可求數(shù)列{ x_n}的通項(xiàng)公式．

解答：（Ⅰ）證明：①n=1時(shí)，x₁=2，直線PQ₁的方程為y-5=

f(2)-5

2-4

(x-4)
當(dāng)y=0時(shí)，∴x2=

11

4

，∴2≤x₁＜x₂＜3；
②假設(shè)n=k時(shí)，結(jié)論成立，即2≤x_k＜x_k+1＜3，直線PQ_k+1的方程為y-5=

f(xk+1)-5

xk+1-4

(x-4)
當(dāng)y=0時(shí)，∴xk+2=

3+4xk+1

2+xk+1

∵2≤x_k＜x_k+1＜3，∴xk+2=4-

5

2+xk+1

＜4-

5

2+3

=3
xk+2-xk+1=

(3-xk+1)(1+xk+1)

2+xk+1

＞0
∴x_k+1＜x_k+2
∴2≤x_k+1＜x_k+2＜3
即n=k+1時(shí)，結(jié)論成立
由①②可知：2≤x_n＜x_n+1＜3；
（Ⅱ）由（Ⅰ），可得xn+1=

3+4xn

2+xn

設(shè)b_n=x_n-3，∴

1

bn+1

=

5

bn

+1
∴

1

bn+1

+

1

4

= 5(

1

bn

+

1

4

)
∴{

1

bn

+

1

4

}是以-

3

4

為首項(xiàng)，5為公比的等比數(shù)列
∴

1

bn

+

1

4

=(-

3

4

)×5n-1
∴bn=-

4

3×5n-1+1

∴xn=bn+3=3-

4

3×5n-1+1

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式，考查數(shù)列與函數(shù)的綜合，解題的關(guān)鍵是從函數(shù)入手，確定直線方程，求得交點(diǎn)坐標(biāo)，再利用數(shù)列知識(shí)解決．