Question

18．設(shè)函數(shù)f（x）=ax²-（a+b-1）x+b，g（x）=x+c（a＞0，b＞0），f（1）=g（0），令F（x）=f（x）-g（x），且F（x）在區(qū)間（$\frac{a+\sqrt（\sqrt{a}+1）}{2a}$，+∞）上是單調(diào)遞增函數(shù)．
（Ⅰ）試比較 $\sqrt-\sqrt{a}$與1的大小；
（Ⅱ）若函數(shù)$y=\sqrt{f[g（x）]}$的定義域是集合A，求證：（0，+∞）⊆A．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出c=1，得到F（x）的表達(dá)式，求出F（x）的對稱軸，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性得到b≤$\sqrt$（$\sqrt{a}$+1），結(jié)合a＞0，b＞0，整理即可判斷 $\sqrt-\sqrt{a}$與1的大��；
（Ⅱ）求出$y=\sqrt{f[g（x）]}$=$\sqrt{{ax}^{2}+（a-b+1）x+1}$，令h（x）=f[g（x）]=ax²+（a-b+1）x+1≥0，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求出集合A即可．

解答 解：（Ⅰ）∵f（1）=g（0），
∴f（1）=1=g（0）=c，解得：c=1，
∴F（x）=f（x）-g（x）=ax²-（a+b）x+b-1，
對稱軸x=$\frac{a+b}{2a}$，
∵F（x）在區(qū)間（$\frac{a+\sqrt（\sqrt{a}+1）}{2a}$，+∞）上是單調(diào)遞增函數(shù)，
∴$\frac{a+b}{2a}$≤$\frac{a+\sqrt（\sqrt{a}+1）}{2a}$，
∵a＞0，b＞0，
∴b≤$\sqrt$（$\sqrt{a}$+1），
∴$\sqrt$-$\sqrt{a}$≤1；
（Ⅱ）$y=\sqrt{f[g（x）]}$=$\sqrt{{ax}^{2}+（a-b+1）x+1}$，
故h（x）=f[g（x）]=ax²+（a-b+1）x+1≥0，
而h（0）=1＞0，
對稱軸x=$\frac{-（a-b+1）}{2a}$≤$\frac{-a{+（\sqrt{a}+1）}^{2}-1}{2a}$=$\frac{1}{\sqrt{a}}$，
∴h（x）的對稱軸在y軸的左側(cè)，
故函數(shù)$y=\sqrt{f[g（x）]}$的定義域是集合A=[0，+∞），
∴（0，+∞）⊆A．

點(diǎn)評 本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，考查函數(shù)的單調(diào)性、值域問題，考查集合的包含關(guān)系，是一道中檔題．