Question

已知橢圓：

x2

2

+y²=1，橢圓上有P，Q，O為原點(diǎn)，直線OP，OQ斜率滿足k_OP•k_OQ=-

1

2

，求PQ中點(diǎn)M的軌跡方程．

Answer 1

考點(diǎn)：軌跡方程

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：分別設(shè)出P，Q，M的坐標(biāo)，把P，Q的坐標(biāo)代入橢圓方程，兩式作和得一關(guān)系式，再由k_OP•k_OQ=-

1

2

得到x₁x₂+2y₁y₂=0，寫出中點(diǎn)坐標(biāo)公式，然后利用配方法整理出現(xiàn)(x1+x2)2+2(y1+y2)2-2(x1x2+2y1y2)=4，代入中點(diǎn)坐標(biāo)及x₁x₂+2y₁y₂=0得答案．

解答： 解：設(shè)p（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），M（x，y），
則

x12

2

+y12=1  ①，

x22

2

+y22=1  ②，
2x=x₁+x₂，2y=y₁+y₂  ③，
由k_OP•k_OQ=-

1

2

，得

y1

x1

y2

x2

=-

1

2

，即x₁x₂+2y₁y₂=0  ④，
聯(lián)立①②得：(x12+x22)+2(y12+y22)=4，
(x1+x2)2-2x1x2+2(y1+y2)2-4y1y2=4，
即(x1+x2)2+2(y1+y2)2-2(x1x2+2y1y2)=4  ⑤，
把③④代入⑤得：（2x）²+2（2y）²-2×0=4，
即4x²+8y²=4，
x²+2y²=1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了軌跡方程的求法，著重體現(xiàn)了“設(shè)而不求”的解題思想方法，是中檔題．