Question

10．將曲線C₁：x²+y²=1上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的$\sqrt{2}$倍（縱坐標(biāo)不變）得到曲線C₂，A為C₁與x軸正半軸的交點(diǎn)，直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)A且傾斜角為30°，記l與曲線C₁的另一交點(diǎn)為B，與曲線C₂在一、三象限的交點(diǎn)分別為C，D．
（1）寫(xiě)出曲線C₂的普通方程及直線l的參數(shù)方程；
（2）求|AC|-|BD|．

Answer 1

分析 （1）設(shè)曲線C₁上一點(diǎn)為（m，n），曲線C₂上一點(diǎn)坐標(biāo)為（x，y），由題意可得x=$\sqrt{2}$m，y=n，求得m，n，代入圓的方程，可得
曲線C₂的方程；求得交點(diǎn)A（1，0），運(yùn)用直線的參數(shù)方程，可得所求；
（2）聯(lián)立直線l的方程和圓的方程，求得B的坐標(biāo)，AB的距離；再由直線的參數(shù)方程代入橢圓方程，運(yùn)用韋達(dá)定理，化|AC|-|BD|=|AC|-（|AD|-|AB|）=|AC|-|AD|+|AB|=|t₁|-|t₂|+$\sqrt{3}$，去絕對(duì)值，即可得到所求值．

解答 解：（1）設(shè)曲線C₁上一點(diǎn)為（m，n），
曲線C₂上一點(diǎn)坐標(biāo)為（x，y），
由題意可得x=$\sqrt{2}$m，y=n，
即為m=$\frac{x}{\sqrt{2}}$，n=y，
代入曲線C₁：x²+y²=1，可得
曲線C₂的方程為：$\frac{{x}^{2}}{2}$+y²=1；
由題意可得A（1，0），
直線l的參數(shù)方程：$\left\{\begin{array}{l}{x=1+\frac{\sqrt{3}}{2}t}\\{y=\frac{1}{2}t}\end{array}\right.$，（t為參數(shù)）．
（2）聯(lián)立直線l的方程和曲線C₁：x²+y²=1，
可得$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{\sqrt{3}}{3}（x-1）}\\{{x}^{2}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，
解得x=1或x=-$\frac{1}{2}$．
即有B（-$\frac{1}{2}$，-$\frac{\sqrt{3}}{2}$）．|AB|=$\sqrt{（1+\frac{1}{2}）^{2}+（\frac{\sqrt{3}}{2}）^{2}}$=$\sqrt{3}$．
將直線l的參數(shù)方程代入曲線C₂，可得
（1+$\frac{\sqrt{3}}{2}$t）²+$\frac{1}{2}$t²=2，即為5t²+4$\sqrt{3}$t-4=0，
即有t₁+t₂=-$\frac{4\sqrt{3}}{5}$，t₁t₂=-$\frac{4}{5}$，
由|AC|-|BD|=|AC|-（|AD|-|AB|）=|AC|-|AD|+|AB|=|t₁|-|t₂|+$\sqrt{3}$，
可設(shè)t₁＞0，t₂＜0，可得|AC|-|BD|=t₁+t₂+$\sqrt{3}$=-$\frac{4\sqrt{3}}{5}$+$\sqrt{3}$=$\frac{\sqrt{3}}{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查軌跡方程的求法，注意運(yùn)用坐標(biāo)轉(zhuǎn)移法，考查直線的參數(shù)方程的求法和應(yīng)用，注意參數(shù)法幾何意義，同時(shí)考查直線和圓方程的聯(lián)立，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．