Question

已知函數(shù)y=sin（

π

3

-

1

2

x）
（Ⅰ）求該函數(shù)的周期，并求函數(shù)在區(qū)間[0，π]上的值域；
（Ⅱ）求該函數(shù)在[-2π，2π]上的單調(diào)增區(qū)間．

Answer 1

考點(diǎn)：正弦函數(shù)的單調(diào)性,三角函數(shù)的周期性及其求法

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（Ⅰ）由題意易得周期，由x的范圍可得

π

3

-

1

2

x的范圍，進(jìn)而可得；（Ⅱ）原函數(shù)的增區(qū)間即為y=sin（

1

2

x-

π

3

）的減區(qū)間，令2kπ+

π

2

≤

1

2

x-

π

3

≤2kπ+

3π

2

，解不等式和[-2π，2π]取交集即可．

解答： 解：（Ⅰ）由題意函數(shù)的周期T=

2π

1 2

=4π，
∵x∈[0，π]，∴

π

3

-

1

2

x∈[-

π

6

，

π

3

]，
∴sin（

π

3

-

1

2

x）∈[-

1

2

，

3

2

]，
即函數(shù)在區(qū)間[0，π]上的值域?yàn)閇-

1

2

，

3

2

]；
（Ⅱ）原函數(shù)可化為y=-sin（

1

2

x-

π

3

），
原函數(shù)的增區(qū)間即為y=sin（

1

2

x-

π

3

）的減區(qū)間，
令2kπ+

π

2

≤

1

2

x-

π

3

≤2kπ+

3π

2

，
解得4kπ+

5π

3

≤x≤4kπ+

11π

3

，k∈Z，
令k=0，可得

5π

3

≤x≤

11π

3

，
令k=-1，可得-

7π

3

≤x≤-

π

3

，
∵x∈[-2π，2π]，
∴函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為：[-2π，-

π

3

]和[

5π

3

，2π]．

點(diǎn)評：本題考查三角函數(shù)的單調(diào)性和值域，涉及周期性和復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，屬基礎(chǔ)題．