已知數(shù)列{an}中，an∈（0，數(shù)學(xué)公式），an=數(shù)學(xué)公式+數(shù)學(xué)公式•an-12，其中n≥2，n∈N*，求證：對(duì)一切自然數(shù)n都有an＜an+1成立．

證明：an+1-an=+an2-an=（an-1）2-．
∵0＜an＜，∴-1＜an-1＜-．
∴＜（an-1）2＜．
∴（an-1）2-＞0．
∴an+1-an＞0，即an＜an+1對(duì)一切自然數(shù)n都成立．
分析：由題設(shè)條件可知，an+1-an=（an-1）2-．由0＜an＜，∴-1＜an-1＜-能夠?qū)С?img class='latex' src='http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/13.png' />（an-1）2-＞0．由此可知an+1-an＞0，即an＜an+1對(duì)一切自然數(shù)n都成立．
點(diǎn)評(píng)：本題考查不等式的解法和數(shù)列的知識(shí)，解題時(shí)要注意培養(yǎng)計(jì)算能力．
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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知數(shù)列{an}中，a1=1，an+1-an=
1
3n+1
(n∈N*)，則
lim
n→∞
an=
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知數(shù)列{an}中，a1=1，an+1=
an
1+2an
，則{an}的通項(xiàng)公式an=
1
2n-1
1
2n-1
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知數(shù)列{an}中，a1=1，a1+2a2+3a3+…+nan=
n+1
2
an+1(n∈N*)．
（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
（2）求數(shù)列{
2n
an
}的前n項(xiàng)和Tn．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知數(shù)列{an}中，a1=
1
2
，Sn為數(shù)列的前n項(xiàng)和，且Sn與
1
an
的一個(gè)等比中項(xiàng)為n(n∈N*），則
lim
n→∞
Sn=
1
1
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知數(shù)列{an}中，a1=1，2nan+1=（n+1）an，則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為（　�。�
A、
n
2n
B、
n
2n-1
C、
n
2n-1
D、
n+1
2n

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