Question

18．?dāng)?shù)列{a_n}滿足a₁=1，a₂=2，且a_n+2-2a_n+1+a_n=1，則$\frac{1}{{a}_{2}-1}$+$\frac{1}{{a}_{3}-1}$+…+$\frac{1}{{a}_{n}-1}$的最小值為1．

Answer 1

分析 化簡a_n+2-2a_n+1+a_n=1可得（a_n+2-a_n+1）-（a_n+1-a_n）=1，從而可得數(shù)列{a_n+1-a_n}是以1為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列；從而解得a_n+1-a_n=1+（n-1）1=n，再累加法求其通項(xiàng)公式，從而解得．

解答 解：∵a_n+2-2a_n+1+a_n=1，
∴（a_n+2-a_n+1）-（a_n+1-a_n）=1，
而a₂-a₁=2-1=1，
∴數(shù)列{a_n+1-a_n}是以1為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列；
∴a_n+1-a_n=1+（n-1）1=n，
∴a₂-a₁=1，
a₃-a₂=2，
…，
a_n-a_n-1=n-1，
∴a_n=1+2+3+…+（n-1）+1=$\frac{n（n-1）}{2}$+1，
∴a_n-1=$\frac{n（n-1）}{2}$，
∴$\frac{1}{{a}_{n}-1}$=$\frac{2}{n（n-1）}$=2（$\frac{1}{n-1}$-$\frac{1}{n}$）＞0，
∴當(dāng)n=2時(shí)，$\frac{1}{{a}_{2}-1}$+$\frac{1}{{a}_{3}-1}$+…+$\frac{1}{{a}_{n}-1}$有最小值，
即$\frac{1}{{a}_{2}-1}$=1，
故答案為：1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列的性質(zhì)，同時(shí)考查了整體思想與轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用及構(gòu)造法的應(yīng)用．