Question

（2013•青島一模）現(xiàn)有長分別為1m、2m、3m的鋼管各3根（每根鋼管質(zhì)地均勻、粗細相同且附有不同的編號），從中隨機抽取n根（假設(shè)各鋼管被抽取的可能性是均等的，1≤n≤9），再將抽取的鋼管相接焊成筆直的一根．
（Ⅰ）當n=3時，記事件A={抽取的3根鋼管中恰有2根長度相等}，求P（A）；
（Ⅱ）當n=2時，若用ξ表示新焊成的鋼管的長度（焊接誤差不計），
①求ξ的分布列；
②令η=-λ²ξ+λ+1，E（η）＞1，求實數(shù)λ的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）總的基本事件數(shù)為

C

3 9

，事件A，可從三類中任取一類，再從該類的3個中任取2個，然后再從其余兩類的6個中任取1個，由分步計數(shù)原理可得種數(shù)，進而可得概率；（Ⅱ）①ξ可能的取值為2，3，4，5，6，分別求其概率可得分布列；②易求得期望E（ξ），進而可得E（η），由E（η）＞1可得關(guān)于λ的不等式，解之可得．

解答：解：（Ⅰ）當n=3時，即從9根中抽取3根，故總的基本事件數(shù)為

C

3 9

，
事件A，可從三類中任取一類共

C

1 3

種，再從該類的3個中任取2個共

C

2 3

種，
然后再從其余兩類的6個中任取1個共

C

1 6

種，故總共

C

1 3

C

2 3

C

1 6

種，
故P（A）=

C 1 3 C 2 3 C 1 6

C 3 9

=

9

14

…（4分）
（Ⅱ）①由題意可知：ξ可能的取值為2，3，4，5，6，
同（Ⅰ）的求解方法可得：P（ξ=2）=

C 2 3

C 2 9

=

1

12

，P（ξ=3）=

C 1 3 C 1 3

C 2 9

=

1

4

，
P（ξ=4）=

C 2 3 + C 1 3 C 1 3

C 2 9

=

1

3

，P（ξ=5）=

C 1 3 C 1 3

C 2 9

=

1

4

，P（ξ=6）=

C 2 3

C 2 9

=

1

12

，
故ξ的分布列為：

ξ	2	3	4	5	6
P	1 12	1 4	1 3	1 4	1 12

…（9分）
②E（ξ）=2×

1

12

+3×

1

4

+4×

1

3

+5×

1

4

+6×

1

12

=4    …（10分）
∵η=-λ²ξ+λ+1，∴E（η）=-λ²E（ξ）+λ+1=-4λ²+λ+1，
∵E（η）＞1，∴-4λ²+λ+1＞1，解得0＜λ＜

1

4

…（12分）

點評：本題考查離散型隨即變量及其分布列，涉及數(shù)學期望的求解，屬中檔題．