(理)函數(shù)y=2
3x+2
+
5-6x
的值域為
[3,3
3
]
[3,3
3
]
分析:根據(jù)(
6x+4
3
)2+(
5-6x
3
)2
=1,可用三角換元法,將函數(shù)的解析式化為y=3
2
sinα+3cosα=3
3
sin(α+φ),其中tanφ=
2
2
,α∈[0,
π
2
]的形式,結(jié)合三角函數(shù)的圖象和性質(zhì),可得答案.
解答:解:∵(
6x+4
3
)2+(
5-6x
3
)2
=1,
6x+4
3
 
≥0,
5-6x
3
 
≥0

故可設(shè)sinα=
6x+4
3
 
,cosα=
5-6x
3
 
,α∈[0,
π
2
]
y=2
3x+2
+
5-6x
=3
2
sinα+3cosα=3
3
sin(α+φ),其中tanφ=
2
2

當α=0時,y取最小值3,當α+φ=
π
2
時,y取最大值3
3

y∈[3,3
3
]

即函數(shù)y=2
3x+2
+
5-6x
的值域為[3,3
3
]

故答案為:[3,3
3
]
點評:本題考查的知識點是函數(shù)的值域,其中利用三角換元法將其轉(zhuǎn)化為正弦型函數(shù)的值域是解答的關(guān)鍵.
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