Question

已知數列{a_n}滿足a₁=1，na_n=（n+1）a_n-1（n≥2，且n∈N^*），則

a 2 n +14

n

取最小值的n值為（　�。�

• A、2
• B、3
• C、4
• D、5

Answer 1

考點：數列遞推式

專題：等差數列與等比數列

分析：由已知得

an

an-1

=

n+1

n

，由此利用累乘法求出a_n=n+1（n≥2），從而

a 2 n +14

n

=n+

15

n

+2，令f（x）=x+

15

x

+2，f（x）在（0，

15

）上單調遞減，在（

15

，+∞）上單調遞增．由此能求出當n=4時，

a 2 n +14

n

取最小值取最小值．

解答： 解：∵na_n=（n+1）a_n-1，∴

an

an-1

=

n+1

n

，
∴

a2

a1

•

a3

a2

•…•

an

an-1

=

2

1

•

3

2

•…•

n+1

n

=n+1，
即a_n=n+1（n≥2），∴

a 2 n +14

n

=n+

15

n

+2，
令f（x）=x+

15

x

+2，
∵f（x）在（0，

15

）上單調遞減，在（

15

，+∞）上單調遞增．
故當n=3或4時，

a 2 n +14

n

取最小值，
∵

a 2 3 +14

3

=3+

15

3

+2=10，

a 2 4 +14

4

=4+

15

4

+2=

39

4

，
故當n=4時，

a 2 n +14

n

取最小值取最小值．
故選：C．

點評：本題考查數列取最小值時項數的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意構造法和函數性質的合理運用．