Question

（本小題8分）已知三棱錐A—BCD及其三視圖如圖所示．

（1）求三棱錐A—BCD的體積與點(diǎn)D到平面ABC的距離；
（2）求二面角 B-AC-D的正弦值．

Answer 1

(1) ；(2)二面角 B-AC-D的正弦值是。

考查線面平行、線線垂直的判定定理以及體積的求解．涉及到的知識點(diǎn)比較多，知識性技巧性都很強(qiáng)，屬于中檔題
（1）利用三視圖可知△ABC為直角三角形，∠DBC為直角，AD⊥面DBC,DB=BC=1,AD=2，則DE的長為點(diǎn)D到面ABC的距離，以及三棱錐的體積可得。
（2）作DF⊥AC于點(diǎn)F,連結(jié)EF，
∵DE⊥面ABC   ∴DE⊥AC    ∴AC⊥面DEF   ∴AC⊥EF
∴∠DFE是二面角 B-AC-D的平面角從而解三角形可知。
(1)

由三視圖可得△ABC為直角三角形，∠DBC為直角，AD⊥面DBC,DB=BC=1,AD=2…………….2分
作DE⊥AB于點(diǎn)E
∵AD⊥面DBC，∴AD⊥BC
∵∠DBC為直角  ∴BC⊥面ADB
∴BC⊥DE
∴DE⊥面ABC………3分
∴DE的長為點(diǎn)D到面ABC的距離
∵DB=1,AD=2      ∴DE=   ∴點(diǎn)D到平面ABC的距離為………4分
∵,∴………5分
(2) 作DF⊥AC于點(diǎn)F,連結(jié)EF，
∵DE⊥面ABC   ∴DE⊥AC    ∴AC⊥面DEF   ∴AC⊥EF
∴∠DFE是二面角 B-AC-D的平面角………7分
∵DB="BC=1" ∴DC=  ∴DF=
∴sin∠DFE=
∴二面角 B-AC-D的正弦值是………8分