(本小題滿分12分)

如圖,在三棱錐中,,,,,, 點(diǎn),分別在棱上,且

   (I)求證:平面;

   (II)當(dāng)的中點(diǎn)時(shí),求與平面所成的角的大。

   (III)是否存在點(diǎn)使得二面角為直二面角?并說(shuō)明理由.

 

【答案】

 

(I)證明略

(II)

(III)存在,理由略

【解析】解:(法1)(Ⅰ)∵,,,∴PA⊥底面ABC,∴PA⊥BC.又,∴AC⊥BC.∴BC⊥平面PAC.(4分)

   (Ⅱ)∵D為PB的中點(diǎn),DE//BC,∴

又由(Ⅰ)知,BC⊥平面PAC,∴DE⊥平面PAC,垂足為點(diǎn)E.

∴∠DAE是AD與平面PAC所成的角,∵PA⊥底面ABC,

∴PA⊥AB,又PA=AB,∴△ABP為等腰直角三角形,

,∴在Rt△ABC中,,∴.

∴在Rt△ADE中,,

與平面所成的角的大小.(8分)

   (Ⅲ)∵AE//BC,又由(Ⅰ)知,BC⊥平面PAC,∴DE⊥平面PAC,

又∵AE平面PAC,PE平面PAC,∴DE⊥AE,DE⊥PE,

∴∠AEP為二面角的平面角,∵PA⊥底面ABC,

∴PA⊥AC,∴.∴在棱PC上存在一點(diǎn)E,使得AE⊥PC,

這時(shí),故存在點(diǎn)E使得二面角是直二面角.(12分)

   (法2)如圖,以A為原煤點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系,設(shè),

由已知可得,,.

   (Ⅰ)∵,,∴,

∴BC⊥AP.又∵,∴BC⊥AC,∴BC⊥平面PAC.(4分)

   (Ⅱ)∵D為PB的中點(diǎn),DE//BC,∴E為PC的中點(diǎn),

,∴又由(Ⅰ)知,BC⊥平面PAC,

∴DE⊥平面PAC,垂足為點(diǎn)E.∴∠DAE是AD與平面PAC所成的角,

,

,

與平面所成的角的大小。(8分)

   (Ⅲ)∵AE//BC,又由(Ⅰ)知,BC⊥平面PAC,∴DE⊥平面PAC,

又∵AE平面PAC,PE平面PAC,∴DE⊥AE,DE⊥PE,

∴∠AEP為二面角的平面角,∵PA⊥底面ABC,

∴PA⊥AC,∴.∴在棱PC上存在一點(diǎn)E,

使得AE⊥PC,這時(shí),

故存在點(diǎn)E使得二面角是直二面角.(12分)

 

練習(xí)冊(cè)系列答案
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3
sinx•cosx-2sin2x(x∈R)
,
(1)求函數(shù)的值域和最小正周期;
(2)求函數(shù)的遞減區(qū)間.

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(2011•自貢三模)(本小題滿分12分>
設(shè)平面直角坐標(biāo)中,O為原點(diǎn),N為動(dòng)點(diǎn),|
ON
|=6,
ON
=
5
OM
.過(guò)點(diǎn)M作MM1丄y軸于M1,過(guò)N作NN1⊥x軸于點(diǎn)N1,
OT
=
M1M
+
N1N
,記點(diǎn)T的軌跡為曲線C.
(I)求曲線C的方程:
(H)已知直線L與雙曲線C:5x2-y2=36的右支相交于P、Q兩點(diǎn)(其中點(diǎn)P在第-象限).線段OP交軌跡C于A,若
OP
=3
OA
,S△PAQ=-26tan∠PAQ求直線L的方程.

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(I)他們選擇的項(xiàng)目所屬類別互不相同的概率;    w.w.w.k.s.5.u.c.o.m    

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