Question

14．某高中地處市區(qū)，學(xué)校規(guī)定家到學(xué)校的路程在10里以內(nèi)的學(xué)生可以走讀，因交通便利，所以走讀生人數(shù)很多．該校學(xué)生會先后5次對走讀生的午休情況作了統(tǒng)計，得到如下資料：
①若把家到學(xué)校的距離分為五個區(qū)間：[0，2）、[2，4）、[4，6）、[6，8）、[8，10），午休的走讀生的分布情況如頻率分布直方圖所示；
②走讀生是否午休與下午開始上課的時間有著密切的關(guān)系． 5次調(diào)查結(jié)果的統(tǒng)計表如表：

下午開始 上課時間	2：10	2：20	2：30	2：40	2：50
平均每天 午休人數(shù)	250	350	500	650	750

（1）若隨機地調(diào)查一位午休的走讀生，估計家到學(xué)校的路程（單位：里）在[2，6）的概率是多少？
（2）如果把下午開始上課時間2：10作為橫坐標0，然后上課時間每推遲10分鐘，橫坐標x增加1，并以平均每天午休人數(shù)作為縱坐標y，試列出x與y的統(tǒng)計表，并根據(jù)表中的數(shù)據(jù)求平均每天午休人數(shù)$\widehat{y}$與上課時間x之間的線性回歸方程$\widehat{y}$=bx+a；
（3）預(yù)測當下午上課時間推遲到3：00時，家距學(xué)校的路程在6里路以上的走讀生中約有多少人午休？
（注：線性回歸直線方程系數(shù)公式b=$\frac{\sum_{i=1}^{n}（{x}_{i}-\overline{x}）（{y}_{i}-\overline{y}）}{\sum_{i=1}^{n}（{x}_{i}-\overline{x}）^{2}}$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}{x}_{i}{y}_{i}-n\overline{x}•\overline{y}}{\sum_{i=1}^{n}{x}_{i}^{2}-n{\overline{x}}^{2}}$，a=$\overline{y}$-b$\overline{x}$．）

Answer 1

分析 （1）根據(jù)所給的頻率分步直方圖看出這組數(shù)據(jù)對應(yīng)的小正方形的長和寬，做出面積就是要求的概率．
（2）根據(jù)題意寫出統(tǒng)計表，用統(tǒng)計表中的數(shù)據(jù)求出橫標和縱標的平均數(shù)，利用最小二乘法做出線性回歸方程的系數(shù)，寫出線性回歸方程．
（3）根據(jù)第二問做出的線性回歸方程，預(yù)測家距學(xué)校的路程在6里路以上的走讀生中約有133人午休．

解答 解：（1）所求概率P=2（0.15+0.2）=0.7．…．…（3分）
（2）根據(jù)題意，可得如下表格：

x	0	1	2	3	4
y	250	350	500	650	750

…．（4分）
則$\overline{x}$=2，$\overline{y}$=500，
$\widehat$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}（{x}_{i}-\overline{x}）（{y}_{i}-\overline{y}）}{\sum_{i=1}^{n}（{x}_{i}-\overline{x}）^{2}}$=$\frac{2×250+1×150+2×250}{4+1+1+4}$=130，…（8分）
再由a=$\overline{y}$-$\widehat$$\overline{x}$，得：a=240，
∴線性回歸方程為$\widehat{y}$=130x+240…..…（10分）
（3）下午上課時間推遲到3：00時，x=5，$\widehat{y}$=890，
890（0.05+0.025）×2=133.5
此時，家距學(xué)校的路程在6里路以上的走讀生中約有133（134）人午休．…．（12分）

點評 本題考查統(tǒng)計的綜合應(yīng)用問題，利用最小二乘法求線性回歸方程及線性回歸方程的應(yīng)用，頻率分布直方圖的應(yīng)用，概率公式，考查的知識點比較全面的題目，屬于中檔題．