Question

三個城市分別位于A，B，C三點處（如圖），且km，BC=40km．今計劃合建一個貨運中轉(zhuǎn)站，為同時方便三個城市，準備建在與B、C等距離的O點處，并修建道路OA，OB，OC．記修建的道路的總長度為ykm．
（Ⅰ）設OA=x（km），或OB=x（km），或點O到BC的距離為x（km），或∠CBO=x（rad）．請你選擇用其中的某個x，將y表示為x的函數(shù)；
（Ⅱ）由（Ⅰ）中建立的函數(shù)關(guān)系，確定貨運中轉(zhuǎn)站的位置，使修建的道路的總長度最短．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）設OB=x（km），在Rt△ODB中，可求得OD=，從而可得y是x的函數(shù)表達式；若設OA=x（km），可求得y=x+（0≤x≤20）；若設∠CBO=x（rad），可求得y=20+（0≤x≤）；
（Ⅱ）由y=2x+20-（20≤x≤20），可求得y′=2-，利用導數(shù)法求得在[20，20]上的極小值即可．
解答：解：（Ⅰ）設OB=x（km），延長AO交于BC于點D．
∵BD=DC=BC=20，OB=OC，
∴OA=AD-0D=-OD=20-OD，
在Rt△ODB中，OD=，
∴y=OA+OB+OC=2x+20-，
又20≤x≤20，
∴y=2x+20-（20≤x≤20）…（6分）
（若設OA=x（km），則y=x+2（0≤x≤20）；
若設∠CBO=x（rad），
則y=20-20tanx+2×=20+（0≤x≤）；
（Ⅱ）由（Ⅰ）中建立的函數(shù)關(guān)系y=2x+20-（20≤x≤20），來確定符合要求的貨運中轉(zhuǎn)站的位置．
∵y=2x+20-（20≤x≤20），
∴y′=2-，令y'=0得x=，或x=-（舍去）．
當時，y'＜0；當時，y'＞0，
∴函數(shù)y在時，取得極小值，這個極小值就是函數(shù)y在上的最小值．…（11分）
因此，當貨運中轉(zhuǎn)站建在三角形區(qū)內(nèi)且到B、C兩點的距離均為km時，修建的道路的總長度最短．…（13分）
點評：本題考查解三角形的實際應用，著重考查求函數(shù)解析式的方法，求得函數(shù)解析式是關(guān)鍵，注重綜合分析與應用能力的考查，屬于難題．