Question

2．已知不等式x²-kx+k-1＞0．
（1）若k=2，求不等式x²-kx+k-1＞0的解集；
（2）若不等式x²-kx+k-1＞0對x∈（1，2）恒成立，求實數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由二次不等式的解法：配方，即可得到所求解集；
（2）化簡二次不等式可得（x-1）（x-（k-1））＞0，對k討論，k=2，k＞2，k＜2，求得解集，即可判斷k的范圍．

解答 解：（1）k=2，不等式x²-kx+k-1＞0，即為
x²-2x+1＞0，即有（x-1）²＞0，
解得x≠1，
則解集為{x|x∈R且x≠1}；
（2）x²-kx+k-1＞0即為（x-1）（x-（k-1））＞0，
當k=2時，解集為{x|x∈R且x≠1}，不等式在（1，2）恒成立；
當k＞2時，解集為{x|x＞k-1或x＜1}，不等式在（1，2）不成立；
當k＜2時，解集為{x|x＞1或x＜k-1}，不等式在（1，2）恒成立．
綜上可得，k的范圍是（-∞，2]．

點評 本題考查二次不等式的解法和不等式恒成立問題的解法，注意運用分類討論的思想方法，考查運算能力，屬于中檔題．