Question

已知函數(shù)．
（Ⅰ）若曲線y=f（x）在點（2，f（2））處的切線與直線2x-y+1=0平行，求出這條切線的方程；
（Ⅱ）討論函數(shù)f（x）的單調區(qū)間；
（Ⅲ）若對于任意的x∈（1，+∞），都有f（x）＜-2，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

解：（Ⅰ），
得切線斜率為k=f'（2）=2a+3，（2分）
據(jù)題設，k=2，所以，故有，（3分）
所以切線方程為y-f（2）=2（x-2），
即6x-3y-10=0，（4分）
（Ⅱ）
當a=0時，，
由于x＞1，所以，
可知函數(shù)f（x）在定義區(qū)間（1，+∞）上單調遞增，（6分）
當a≠0時，，
若a＞0，則，
可知當x＞1時，有f'（x）＞0，
函數(shù)f（x）在定義區(qū)間（1，+∞）上單調遞增，（8分）
若a＜0，則，
得當時，f'（x）＞0；
當時，f'（x）＜0．
所以，函數(shù)f（x）在區(qū)間上單調遞增，
在區(qū)間上單調遞減．
綜上，當a≥0時，函數(shù)f（x）的單調遞增區(qū)間是定義區(qū)間（1，+∞）；
當a＜0時，函數(shù)f（x）的單調增區(qū)間為，減區(qū)間為，（10分）
（Ⅲ）當a≥0時，考查f（2）=4a+2≥2＞0，不合題意，舍；
當a＜0時，由（Ⅱ）知．
故只需，即．（11分）
令t=-a，則不等式為，且t＞0．
構造函數(shù)，
則，
知函數(shù)g（t）在區(qū)間（0，+∞）上單調遞增．
因為g（1）=4ln1+3-2-1=0，所以當t＞1時，g（1）＞0，
這說明不等式的解為t＞1，即得a＜-1．
綜上，實數(shù)a的取值范圍是（-∞，-1）．（14分）
分析：（Ⅰ）由，得切線斜率為k=f'（2）=2a+3，據(jù)題設，k=2，所以，故有，由此能求出切線方程．
（Ⅱ）由，知當a=0時，，由于x＞1，所以，由此能夠討論函數(shù)f（x）的單調區(qū)間．
（Ⅲ）當a≥0時，考查f（2）=4a+2≥2＞0，不合題意，舍；當a＜0時，由（Ⅱ）知．故只需，即．由此能求出實數(shù)a的取值范圍．
點評：本題考查利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)最值的應用，考查運算求解能力，推理論證能力；考查化歸與轉化思想．綜合性強，難度大，有一定的探索性，對數(shù)學思維能力要求較高，是高考的重點．解題時要認真審題，仔細解答．